2. Редуцирование расстояний

Для перехода от длины геодезической линии к длине ее изображения на плоскости в проекции Гаусса – Крюгера применяется формула общего вида dd=mdSилиd≈m_mS,

где m_m– среднее значение масштаба изображения (в функции у приS≤ 10 км,с обеспечением получения на краю 6⁰-ой зоны хордыdcпогрешностью не более 10^-6, определяется какm_m= 1 +y²/ 2R²_m+y⁴_m/ 24R⁴_m+ ...).

Значение стороны dна плоскости определяется какd_ik=S_ik +∆S_ik

При вычислении поправки ∆ S_ik cпогрешностью не более 0,001 м используют формулу:

∆ S_ik = f ′_m (y²_m + ∆y²/ 12 + y⁴_m / 12R²_m)S_ik,

1

где f′_m= ------ можно выбрать из специальных таблиц по В_mили Х_км:

2R²_m

Таблица значений f_m и f_m′ при R в км

Широта В0	х, км	fm	f′m
50 52 54 56	5 541 5 763 5 986 6 209	0,0025322 0,0025310 0,0025299 0,0025287	1,22763 10-8 1,22706 10-8 1,22651 10-8 1,22597 10-8

Исходные данные для решения задачи по вариантам:значения элементов треугольника на поверхности эллипсоида взять из решения задачи по варианту работы №8;

азимут стороны АС= bпринять равнымА_АС=107⁰ 33′ + 30′ n ,гдеn– номер по списку журнала группы;

геодезические и прямогольные координаты вершины А треугольника принять из решения задачи по варианту работы №6.

Пример решения задачи с использованием элементов

эллипсоида Красовского

Исходные данные:

схема треугольника

BСреднее значение широты треугольника В_m= 55⁰

ca

AbC

сферические углы треугольника:

А= 62⁰ 12′ 45,257”

В= 50 20 20,552

С= 67 26 59,701

сторона сферического треугольника:

АС= b = 45297,282 м

координаты вершины А:

геодезические B = 51⁰ 38′ 43,9000”

L = 24 02 13,1361

плоские х = 5 728 164,129 м

у = - 205 079,973

азимут исходной стороны А_АС = 107⁰ 30′ 00,000”

Определить:

Элементы плоского треугольника и плоские координаты его вершин на плоскости проекции Гаусса – Крюгера.

Последовательность вычислений

1. Вычисление значения гауссова сближения меридиана ץ_Ав исходной точке А по ее прямоугольным и геодезическим координатам для эллипсоида с параметрами элементов Красовского с погрешностью не более 0,001”:

ץ _А={1–[(0,33333–0,00225cos⁴B_x)–(0,2 – 0,067cos²B_x)z²]z²} z sinB_x.,

где В_х ,N_х ,η_хопределяют по формулам, приведенным в работе №6;

для контроля - в функции геодезических координат:

ץ _А={1+[(0,33333+0,00674cos²B)+(0,2cos²B–0,0067)ℓ²] ℓ²cos²B} ℓ sinB,

очевидно, что знак ץ _А определяется знакомz илиℓ.

2. Построение схемы треугольника в масштабе 1:100 000 по координатам х_А, у_Аисходной точки А, исходной стороне АС и углам треугольника. Снятие со схемы приближенных значений координат вершин В и С до десятых долей километра.

3. Вычисление в первом приближении поправок в секундах в направления углов δ”_АС = - δ”_СА= - 0,00253 у_m(x_С–x_A) и поправок в стороны в метрах ∆S_АС= 0,123 (у_m/100)²S_АС, где (x_С–x_A), у_mиS_АС– в километрах.

4. Вычисление значения дирекционного угла α_АС в первом приближении как α_АС = А_АС -ץ_А+ δ_АС.

5. Вычисление поправок δ_iв сферические углы треугольника в первом приближении

δ_А = δ_АС– δ_АВ; δ_В = δ_ВА– δ_ВС; δ_С = δ_СВ– δ_СА.

6. Вычисление значений координат вершин треугольника В и С в первом приближении как

x_B=x_A+ ∆х_ВА; у_В= у_А +∆у_ВА;x_С=x_A+ ∆х_СА; у_С= у_А +∆у_СА,

где ∆х_ВА= (S_АВ+∆S_АВ)cosα_АВ; ∆х_СА= (S_АС+∆S_АС)cosα_АС;

∆у_ВА= (S_АВ+∆S_АВ)sinα_АВ; ∆у_СА= (S_АС+∆S_АС)sinα_АС.

7. Вычисление во втором приближении поправок в направления углов δ”_ikи поправки ∆S_АСв исходную сторону:

δ”_ik = -f_m(∆х_ki)[y_m - ∆у_ki/6 –y³_m /3R²_m];

δ”_ki=f_m(∆х_ki)[y_m +∆у_ki/6 +y³_m /3R²_m];

∆S_АС =S_AС (у²_m/ 2R²_m +∆у²/24R²_m+y⁴_m /24R⁴_m),

где S_AС , у_m и ∆y_ki выражают в километрах до 0,001 км.

8. Вычисление поправок δ” в углы вершин треугольника, длины исходной стороны на плоскости S_АСи ее дирекционного угла α_АСво втором приближении.

9. Вычисление значений длин сторон S_АВS_ВС на плоскости во втором приближении по теореме синусов для плоского треугольника.

10. Окончательное вычисление плоских координат вершин В и С треугольника.

Результаты вычислений:

1. Сближение меридианов ץ _А :

по прямоугольным координатам ץ _А = - 0,040 567 790 рад = - 2⁰ 19′ 27,707”

по геодезическим координатам ץ _А = - 0,040 567 788 рад = - 2⁰ 19′ 27,707”

2. Значения длин сторон треугольника в первом приближении

Вершина Угол Синус Сторона:

А 62⁰ 12′ 45” 0,88468 а = BC = 52055 м

В 50 20 20 0,76983 b = AC = 45297

С 67 27 00 0,92354 c = AB = 54341

3. Построение схемы треугольника и снятие координат

вершин В и С:

Х_В = 5 767,0 км; Х_С = 5 714,4 км;

У_В = - 166,3. У_С = - 161,9.

4.Вычисление поправок δ”_ik и ∆S_ik в метрах в первом приближении

δ”_ik = - δ”_ki= - 0,00253 у_m(x_k–x_i);

(∆S _ik)_м= 0,123 (у _m/100)²S_ik,

где (x_k–x_i), у_mиS_ik– в километрах.

Обозначение	А С	А В	С В
хА, км	5 728,2	5 728,2	5 714,4
хС, км	5 714,4	5 767,0	5 767,0
∆.ХСА = ХС - ХА, км	-13,8	+ 38,8	+ 52,6
Уm, км	- 183,5	- 185,7	- 164,1
УА, км	- 205,1	- 205,1	- 161,9
УС, км	- 161,9	- 166,3	- 166,3
У2m	33 672	34 484	26 929
SАС, км	45	54	52
δ”ik	- 6”	+ 18”	+ 22”
δ”ki	+6	- 18	- 22
∆Sik, м	19	23	17

5. Вычисление дирекционного угла α_АСисходной стороны АС в первом приближении:

α_АС= А_АС– γ_А+ δ_АС=107⁰ 30′ 00,000” – (-2⁰ 19′ 27,707”) +(-6”)= 109⁰ 49′ 22”

6. Вычисление поправок δ_i в углы треугольника в первом приближении:

δ_А = δ_АС- δ_АВ= - 6” – 18” = - 24”

δ_B = δ_BА- δ_ВC= -18 +22 =+ 4

δ_С = δ_CВ- δ_CА =+22 - 6 = +18

7. Вычисление координат вершин В и С треугольника в первом приближении и поправок δ”_ik , δ”_kiи ∆S_АСво втором приближении

δ”_ik = -f_m(∆х_ki)[y_m - ∆у_ki/6 –y³_m /3R²_m];

δ”_ki=f_m(∆х_ki)[y_m +∆у_ki/6 +y³_m /3R²_m];

∆S_АС = S_AС (у²_m/ 2R²_m +∆у²/24 R²_m+y⁴_m /24R⁴_m),

где для В_m= 55⁰:R_m= 6384,653 км ;f_m= 0,00253 ”/ км²,S_{AС –} в метрах

α Угол δ αАС S, км ∆S, м s, км cos αАС sin αАС xA , км ∆х, км хС, км уА, км ∆у, км уС, км Вm уm, км ∆у / 6 Rm, км у3m/3R2m fm δ”ik δ”ki у2m/2R2m ∆у2/24 R2m y4m/24 R4m ∆S, м dАС, м

1090 49′ 22” 45,297 19 45,316 - 0,33911 0,94075 5 728,164 -15,367 5 712,797 - 205,079 42,631 - 162,448 520 - 183,764 7,105 6 384,653 - 0,051 0,00253 - 7,419 +6,866 0,000414 0,000002 0,000000 18, 844 45 316,126

1090 49′ 22” - 62 12 45 - 24 47 37 01 54,341 23 54,364 0,67408 0,73865 5 728,164 36,646 5 764,810 - 205,079 40,156 - 164,923 520 - 185,001 6,693 6 384,653 - 0,052 0,00253 17,768 - 16,536

2890 49′ 22” + 67 27 00 18 357 16 40 52,055 17 52,072 0,99887 - 0,04749 5 712,797 52,013 5 764,810 - 162,448 - 2,473 - 164,921 520 - 163,684 - 0,412 6 384,653 - 0,036 0,00253 21,480 - 21,599

8. Вычисление поправок δ”_i в углы треугольника во втором приближении

δ_А = δ_АС- δ_АВ = - 7,419” – 17,768” = - 25,187”

δ_B = δ_BА- δ_ВC = -16,536 + 21,599 = + 5,063

δ_С = δ_CВ- δ_CА =+ 21,480 - 6,866 = +14,614

Контроль: Σδ_i = - ε, ε=fabsinC= 5.511” Σ= - 5,510”

9. Окончательное решение треугольника на плоскости

Вершины	Сферический угол	δ”i	Углы плоские	Синусы углов	Сторона d, м
А	62012′45,257”	-25,187	62012′ 20,070”	0,88462635	52 072,252
В	50 20 20,552	5,063	50 20 25,615	0,76985031	45 316,126
С	67 26 59,701	14,614	67 27 14,315	0,92357184	54 364,722
Σ ε	180 00 05,510 05,510	- 5,510	180 00 00,000

10. Вычисление точного значения исходного дирекционного угла α_АС

А_АС = 107⁰ 30′ 00,000”

- γ_А = - 2 19 27,707

+δ_АС = - 7,419

α_АС = 109⁰ 49′ 20,288”