§ 8. Импульс. Закон сохранения импульса

 Пример 8.1. Лодка со стоящим на ней человеком имеет скорость v₀. Определить, пренебрегая сопротивлением воды, с какой скоростью v будет двигаться лодка, если человек пойдет по ней вперед со скоростью u относительно лодки. Масса человека равна m, а масса лодки – M. На какую величину L переместится покоившаяся лодка при перемещении по ней человека на l?

Решение.

Применим закон изменения импульса в интегральной форме:

₂ – ₁ = t . (8.1)

Рассмотрим систему «человек – лодка». Первое состояние – человек стоит на лодке; второе состояние – человек идет по лодке. Соотношение (8.1) справедливо в инерциальной системе отсчета. Таковой можно считать воду, относительно которой задана скорость v₀. Найдем импульсы, входящие в формулу (8.1):

₁ = (m + M) ₀ , ₂ = M +m ( + ) . (8.2)

Здесь + – скорость человека относительно воды, найденная позакону сложения скоростей.

В правой части (8.1) содержатся лишь силы тяжести и архимедова сила. Проекции этих сил на горизонтальное направление равны нулю, поэтому удобно проецировать уравнение (8.1) на ось x, сонаправленную со скоростью ₀:

M v_X + m (u + v_X) – (m + M) v₀ = 0 , 

v_X = v₀ – m u / (M + m) . (8.3)

Из (8.3) видно, что при достаточно большой скорости u величина v_X окажется отрицательной, то есть лодка станет двигаться в направлении, противоположном первоначальному.

При v₀ = 0 формула (8.3) дает скорость движения покоившейся первоначально лодки, по которой пошел человек. Если он идет со скоростью u в течение времени t = l / u , то лодка переместится в обратном направлении на величину L =  v_X  t , следовательно,

L = m l / (M + m) . (8.4)

Получившийся таким образом ответ на второй вопрос задачи основан на предположении о равномерном движении человека. Между тем этот ответ справедлив при произвольном изменении скорости в процессе движения. В этом убеждает решение второй части задачи, основанное на использовании понятия "центра масс".

Центром масс называют такую точку, скорость которой, умноженная на массу всей системы, равна импульсу системы. В рассматриваемой задаче = (m + M) _C , где _C – радиус-вектор центра масс.

Закон изменения импульса в дифференциальной форме, d/dt = , приводит к заключению, что проекция импульса системы "человек – лодка" остается неизменной. В ситуации, о которой говорится во второй части задачи, эта проекция остается равной нулю:

(m + M) _C = 0 . (8.5)

Отсюда следует, что центр масс системы остается на месте (x_C = const) при любых движениях ее частей.

Используя известную формулу, определяющую радиус-вектор центра масс,

_С = ( m_{i i}) / ( m_i) , (8.6)

получим x_C = (m x_Ч + M x_Л) (M + m) = const , (8.7)

где x_Ч и x_Л – координаты человека и лодки соответственно. Для приращений этих координат соотношение (8.7) дает

m x_Ч + M x_Л = 0 . (8.8)

Приращения координат в данной задаче имеют следующие значения: x_Л = – L ; x_Ч = l – L. Подставляя их в (8.8), приходим к (8.4). Получен прежний ответ, но при этом не накладывалось никаких ограничений на характер движения человека.

 Пример 8.2. В сильный снегопад от железнодорожного состава, идущего со скоростью v₀, оторвалась платформа. Считая, что количество снега, выпавшего на платформу в единицу времени, равно q, определить, через какое время t платформа остановится, если ее начальная масса равна m₀, а коэффициент сопротивления движению в отсутствии снега равна .

Решение.

Платформу можно считать частицей с переменной массой, и применить к описанию ее движения уравнение Мещерского в проекции на направление начальной скорости:

m dv / dt = F_X + u dm / dt . (8.9)

Здесь v – проекция скорости платформы, m – ее масса, u = – v – проекция скорости налипающих частиц снега относительно платформы, dm / dt = q, F_X = –  m g . Так что (8.9) принимает вид

m dv / dt = –  m g – v q . (8.10)

При неизменной интенсивности снегопада (dv / dt = q = const) масса растет со временем по закону

m = m₀ + q t . (8.11)

Подставляя (8.11) в (8.10), получим дифференциальное уравнение

(m₀ + q t) dv / dt + v q = –  g ((m₀ + q t) . (8.12)

Решение такого неоднородного уравнения представляет собой, как известно из математики, сумму двух слагаемых: v = v ₁+ v₂ , где v ₁ – общее решение уравнения (8.12) без правой части (однородного), а v₂ – одно из частных решений уравнения (8.12) с правой частью.

Переменные v₁ и t однородного уравнения легко разделяются, и после интегрирования получается

v₁ = m₀ v₁₀ / (m₀ + q t) , (8.13)

где v₁₀ – произвольная постоянная.

Поскольку правая часть неоднородного уравнения (8.12) представляет собой линейную относительно t функцию, то частное решение этого уравнения следует искать тоже в виде линейной функции:

v₂ = A + B t . (8.14)

Постоянные A и B должны быть подобраны так, чтобы при подстановке v = v₂ в (8.12) получилось тождество. Сделав такую подстановку и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в обеих частях равенства, получим

A = –  g m₀ / (2 q) и B = –  g / 2 . (8.15)

Подставив (8.13) и (8.14) с постоянными (8.15) в (8.12), найдем общее решение этого уравнения:

v = m₀ v₁₀ / ( m₀ + q t) –  g m₀ / (2 q) –  g t / 2 . (8.16)

Произвольная постоянная v₁₀ находится из начального условия v_{t = 0} = v₀ :

v₁₀ = v₀ +  g m₀ / (2 q) . (8.17)

Осталось лишь подставить в (8.16) выражение (8.17), а также v = 0 и решить получающееся квадратное относительно t уравнение

 g q t² / 2 +  g m₀ t – m₀ v₀ = 0 .

Это уравнение имеет два корня:

t = .

Лишь верхний знак должен быть оставлен в ответе, так как иной корень дает t < 0, что не имеет физического смысла.



Задачи для самостоятельного решения

 Задача 8.1 Ш. Тележка с песком массой M катится горизонтально со скоростью v_Т. В нее ударяет и застревает в песке снаряд массой m, который падал со скоростью v_С под углом  к горизонту навстречу тележке. Как будет двигаться тележка после удара?

Ответ : Проекция скорости тележки на направление первоначального движения v_x = (M v_Т – m v_С cos ) / ( M + m) .

Рис. 64

Задача 8.2. Брусок A массой m₁ может скользить по гладкой горизонтальной плоскости. К бруску шарнирно присоединен невесомый стержень длины l, на конце которого укреплен груз B массой m₂ (рис. 64). Стержень отклонен на угол  и отпущен без начальной скорости. Определить координату x_A тела A в зависимости от угла отклонения  (рис. 64), полагая, что x_A _{ = 0} = 0. Найти также траекторию движения груза B.

Ответы :

x_A = – (m₂ l sin ) / (m₁ + m₂) ; эллипс с полуосями l (m₁ + m₂) / m₁ и l .

 Задача 8.3. Самолет с воздушно-реактивным двигателем совершает прямолинейный горизонтальный полет. Двигатель захватывает в единицу времени определенную массу q воздуха и приблизительно столько же отбрасывает назад со скоростью u относительно самолета. Определить скорость самолета как функцию времени, пренебрегая силами сопротивления. Масса самолета – m₀. Скорость самолета в момент включения двигателя пренебрежимо мала.

Ответ : v = u (1 – exp (– q t / m) ) .

 Задача 8.4. Космический корабль движется в безвоздушном пространстве вдали от тяготеющих масс со скоростью ₀. В некоторый момент времени включается двигатель корабля, который выбрасывает в единицу времени массу q со скоростью относительно корабля, направленную против ₀. Какова будет скорость v корабля спустя время t после включения двигателя? Какой путь s за это время пройдет корабль? Масса корабля до включения двигателя была равна m₀.

Ответы : v = v₀ + u ln ; s = (v₀ + u ) t – ln.

 Задача 8.5. Как с течением времени должна изменяться масса реактивного автомобиля, чтобы он из состояния покоя двигался горизонтально с постоянным ускорением w? Сила сопротивления пропорциональна скорости (коэффициент пропорциональности – k). Скорость истечения продуктов сгорания топлива равна u. Начальная масса автомобиля равна m₀.

Ответ : m = (m₀ – k u / w) exp (– w t / u) – k t + k u / w .

 Задача 8.6. В задаче 6.6 (рис. 53) найти силу F давления блока на ось при движении грузов.

Ответ : F = g (m₁ + m₂ + m) – .

 Задача 8.7. Змея массой M и длиной L лежит на чашке уравновешенных весов. Определить, какую гирю нужно положить на противоположную чашку весов, чтобы не нарушилось равновесие, когда змея начнет поднимать голову вертикально вверх со скоростью v.

Ответ : m = M v² / (g L).

 Задача 8.8 *). Свернутую в клубок цепочку положили на край горизонтального гладкого стола так, что маленький кусочек цепочки свесился со стола. Как с течением времени t будет меняться длина x свешивающейся части цепочки?

Ответ : x = g t² / 6 .

 Задача 8.9. По боковым сторонам прямоугольного клина, опирающегося основанием BC на гладкую горизонтальную плоскость, могут скользить два бруска массами m₁ и m₂ (рис. 65). Бруски связаны невесомой нерастяжимой нитью переброшенной через блок, укрепленный на ребре A. Масса клина с блоком равна M. Найти перемещение x клина по горизонтальной плоскости при опускании на высоту h бруска, скользящего по грани, наклоненной под углом  к горизонту.

Рис. 65

Ответ :

x = h (m₁ ctg  + m₂) / (m₁ + m₂ + M) .

 Задача 8.10. Ракета движется вверх в однородном поле тяжести с постоянным ускорением w = 3 g. Скорость истечения продуктов сгорания топлива относительно ракеты равна u. Определить, через сколько времени t масса ракеты уменьшится вдвое.

Ответ : t = (u ln 2) / (4 g) .

Рис. 66

Задача 8.11. На однородный цилиндр, могущий свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, намотан трос, на свободном конце которого подвешен груз массой m. Определить силу давления на ось цилиндра, если груз опускается с ускорением w, а масса цилиндра равна M.

Ответ : F = (M + m) g – m w .

 Задача 8.12. Тело переменной массы, имея начальную скорость, равную нулю, движется с постоянным ускорением w по горизонтальным направляющим. Скорость u истечения газов относительно тела постоянна. Определить, пренебрегая сопротивлением, путь s, пройденный телом до того момента, когда его масса уменьшится в k раз.

Ответ : s = (u ln k)² / (2 w) .

 Задача 8.13. Груз массой m₁ поднимается при помощи блочного приспособления, изображенного на рисунке 66. Определить силу F давления на ось неподвижного блока, если груз массой m₂ опускается с ускорением w. Трением и массой блоков пренебречь.

Ответ : F = (m₁ + m₂) g – (m₂ – m₁ / 2) w .