II. Основы аналитической механики

§ 4. Принцип виртуальных перемещений Бернулли

 Пример 4.1. Шесть однородных одинаковых стержней длиной l и массой m шарнирно связаны своими концами и образуют шестиугольник, показанный на рисунке 27. Нижняя сторона этого шестиугольника закреплена неподвижно. Какую силу F следует приложить к средине верхнего стержня, чтобы система находилась в равновесии.

Рис. 27

Решение.

Решение этой задачи применением к каждому стержню условий равновесия абсолютно твердого тела было бы слишком громоздким, поскольку пришлось бы рассматривать силы реакции, действующие на каждый стержень, и решать систему многих уравнений. Но находить реакции в данной задаче не требуется. Принцип виртуальных перемещений Бернулли как раз и позволяет избежать рассмотрение реакций. Нужно лишь приравнять нулю сумму работ активных сил на произвольных виртуальных перемещениях точек приложения сил: A, B, B₁, C, C₁. Получим уравнение

(+m )_A + 2 m _B+ 2 m _C = 0. (4.1)

Поскольку все силы направлены вдоль оси 0x (рис. 27), скалярные произведения, входящие в уравнение (4.1), целесообразно выразить через проекции виртуальных перемещений на эту ось:

x_A =  (2 l sin ) = 2 l cos   , (4.2)

x_B =  ( l sin  + (l / 2) sin ) = (3 / 2) l cos   , (4.3)

x_C =  ((l / 2) sin ) = (l / 2) cos   . (4.4)

Умножая (4.2) – (4.4) на соответствующие проекции активных сил и подставляя эти произведения в (4.1), получим

(F – m g) 2 l cos   – 3 m g l cos   – m g l cos   = 0 . (4.5)

Рис. 28

Равенство (4.5) должно быть обеспечено при произвольных значениях . Для этого достаточно, чтобы F – m g (1 + (3 / 2) + (1 / 2) ) = 0. Следовательно, F = 3 m g .

 Пример 4.2. Балка длиной 2 l и массой m закреплена шарнирно в точке A и опирается в точке C на каток (рис. 28). Каток удален от шарнира на расстояние AC = b. К балке приложены вертикальные силы и. Точка приложения силыотстоит отA на расстояние a, а сила приложена к концу балки (рис. 28). Определить опорные реакцииR_A и R_C.

Решение.

Принцип виртуальных перемещений Бернулли, позволяющий исключить рассмотрение реакций, можно использовать и для их нахождения, если применить метод освобождаемости от связей. Суть метода заключается в том, что вместо той или иной связи рассматривают силы реакции, которые ее обеспечивают. Вводимые таким образом силы реакции считают активными силами, рассчитывая их с помощью принципа виртуальных перемещений Бернулли.

Чтобы найти R_A, мысленно освобождаем балку от шарнира A. В результате она приобретает возможность поворачиваться вокруг точки C. Запишем принцип виртуальных перемещений Бернулли, рассматривая поворот балки вокруг точки C на произвольный малый угол :

(R_A b – F (b – a) – m g ( b – l ) + Q (2 l – b))  = 0. (4.6)

Это равенство должно быть обеспечено для произвольных величин , в том числе и для   0. Так что в (4.6) скобка перед множителем  должна быть равна нулю. Отсюда получаем

R_A = (F (b – a) + m g ( b – l ) – Q (2 l – b) ) / b .

Для нахождения R_C освобождаем мысленно балку от опоры в точке C и применяем принцип виртуальных перемещений Бернулли. Виртуальные перемещения обусловлены поворотом балки вокруг точки A на произвольный малый угол :

Q 2 l  – R_C b  + m g l  + F a  = 0.

Рис. 29

Отсюда следует: R_C = (F a + m g l + 2 Q l ) / b .



Задачи для самостоятельного решения

 Задача 4.1. Полиспаст состоит из неподвижного и n подвижных блоков (рис. 29). Какую силу F нужно приложить к концу каната, сходящего с неподвижного блока, чтобы поднять груз массой m?

Ответ : F = 2^–n m g .

 Задача 4.2. К концам невесомой нерастяжимой нити привязаны грузы массами m₁ и m₂. Нить огибает систему блоков как показано на рисунке 30, удерживая груз, подвешенный к подвижному блоку. При какой массе m этого груза и при каком коэффициенте трения  о горизонтальную поверхность система будет находиться в равновесии?

Рис. 30

Ответы : m = 2 m₂ ,  > m₂ / m₁.

 Задача 4.3. Однородный столб длиной l = 4,0 м и массой m = 60 кг опирается в точке A на стену высотой h = 3,0 м и удерживается в равновесии при помощи веревки BC так, что угол  = 60⁰ (рис. 31). Определить реакции опор R_A и R_C, а также силу натяжения нити. Силой трения пренебречь.

Рис. 31

Ответы :

R_A = m g (l / 2 h) sin  cos   1,7 ·10² Н,

R_C = m g ( 1 – (l / 2 h) sin  cos²  )  5,0 ·10² Н,

T = m g (l / 2 h) sin²  cos   1,5 ·10² Н.

Рис. 32

Задача 4.4. Стержни AB, BC и CD шарнирно соединены друг с другом и с неподвижными опорами (рис. 32). К точке B приложена сила F, направленная вертикально вниз. Какую силу Q в горизонтальном направлении нужно приложить, чтобы система оказалась в равновесии. В равновесном положении стержень AB расположен горизонтально, а CD – вертикально, BC образует с вертикалью угол .

Ответ : Q = F tg  .

Рис. 33

Задача 4.5. Два горизонтальных стержня шарнирно закреплены а точках A и B, а их свободные концы соединены тросом, перекинутым через неподвижный блок (рис. 33). Длины стержней равны l₁ и l₂. На расстояниях a₁ и a₂ от закрепленных концов к стержням подвешены грузы массами m₁ и m₂ соответственно. Пренебрегая трением и массой стержней, найти соотношение между величинами a₁ и a₂, при котором система находится в равновесии.

Ответ : a₁ / a₂ = m₂ l₁ / ( m₁ l₂) .

 Задача 4.6 *). На гладкой горке, профиль которой описывается уравнением y² = 2 k z (рис. 34), уравновешены два шарика, связанные нитью. Шарик массой m₁ расположен ниже вершины горки на величину a. Определить координату z второго шарика.

Рис. 34

Ответ :

Рис. 35

z = m₁² k a / (m₂² k + 2 a (m₂² – m₁²) ) .

Рис. 36

Задача 4.7. Однородный стержень AB длиной 2l массой m может вращаться вокруг вертикальной оси A (рисунок 35) и опирается на такой же стержень СD, который может вращаться вокруг горизонтальной оси E, проходящей через его середину. Точки A и E лежат на одной вертикали на расстоянии AE = l . К концу D подвешен груз массой 2 m. Пренебрегая трением, определить в положении равновесия угол , образуемый стержнем AB с вертикалью.

Ответ :  = arc cos (1 / 8).

 Задача 4.8. На средний шарнир коленчатого пресса ABC действует в его плоскости горизонтальная сила P (рисунок 36). Какую силу Q, приложенную в точке C и направленную вертикально вверх, уравновешивает эта сила?

AB = BC, ABC = 2 .

Ответ : Q = (P / 2) tg  .

Рис. 37

Задача 4.9. В кулисном механизме, изображенном на рисунке 37, при качании рычага OC вокруг горизонтальной оси O ползун A, перемещаясь вдоль рычага OC, приводит в движение стержень AB, движущийся в вертикальных направляющих K. OC = R, OK = l. Какую силу Q надо приложить перпендикулярно кривошипу OC в точке C для того, чтобы уравновесить силу P, направленную вдоль стержня AB вверх?

Ответ : Q = P l / (R cos² ) .

 Задача 4.10. Два одинаковых однородных стержня AB и BC массой m каждый шарнирно соединены друг с другом. Стержень AB шарнирно закреплен в точке A и к его середине подвешен груз массой m₁. Стержень BC опирается на гладкую горизонтальную плоскость. Какую горизонтальную силу F следует приложить в точке C, чтобы система находилась в равновесии, если стержни наклонены под углами  и  (рисунок. 38)?

Рис. 38

Ответ :

Рис. 39

F = .

 Задача 4.11. Четыре одинаковых однородных стержня, соединенных между собой шарнирно, расположены в вертикальной плоскости (рис. 39). Противоположные вершины A и B полученного ромба связаны между собой нитью. Нижняя вершина C шарнирно закреплена, а верхний шарнир D может свободно перемещаться вдоль вертикальных направляющих. Определить силу T натяжения нити, если углы при вершинах C и D ромба равны 2 , а масса каждого стержня равна m. Массой ползуна D и трением пренебречь.

Ответ : T = 2 m g tg  .