§ 5. Динамический принцип виртуальных перемещений

 Пример 5.1. Два ползуна A и B массой m каждый шарнирно скреплены с двумя одинаковыми стержнями, концы которых связаны шарниром C (рис. 40). Ползуны могут скользить по горизонтальным направляющим без трения. К точке соединения стержней подвешен груз D массой M и отпущен без начальной скорости. Каково будет ускорение w_D груза D в начальный момент движения, если стержень в этот момент образует угол  с горизонтом и движется в вертикальной плоскости? Массой стержней пренебречь.

Решение.

Если применять законы Ньютона к ползунам, то приходится рассматривать реакции стержней. Динамический принцип виртуальных перемещений позволяет обойтись без этого. Нужно лишь приравнять нулю сумму работ активных сил и сил инерции на произвольных виртуальных перемещениях. Активными силами являются силы тяжести mиM. Силы инерции,инаправлены навстречу ускорениям,исоответствующих тел (рис. 40). Введем произвольные виртуальные перемещения,иточек приложения указанных сил (рис. 40). В соответствии сдинамическим принципом виртуальных перемещений получим уравнение

2 +M+= 0 ,

или (I_D – M g) y – 2 I_A x = 0 , (5.1)

где x и y – проекции ина осиx и y, соответственно (рис. 40).

Рис. 40

Теперь необходимо установить, как связаны друг с другом величины x и y, а также w_A и w_D, определяющие силы инерции I_A = m w_A и I_D = M w_D. Эту связь позволяет найти теорема о равенстве проекций скоростей двух точек абсолютно твердого тела на прямую, их соединяющую:

v_A cos  = v_D sin  . (5.2)

и – скорости соответствующих точек. Умножив (5.2) на промежуток времени t, за который совершаются рассматриваемые виртуальные перемещения, получим: r_A cos  = v_A t cos  = v_D t sin  = r_D sin  . Это и дает искомое соотношение между величинами x и y:

x cos  = – y sin  . (5.3)

Здесь учтено, что x = r_A, а y = – r_D в соответствии с выбранным направлением координатных осей (рис. 40).

Из (5.1) и (5.3) находим:

(M w_D – M g) y + 2 m w_A · tg  · y = 0 . (5.4)

Дифференцируя (5.2), получим

_A cos  – v_A sin  =_D sin  + v_D cos  ,

что дает для рассматриваемого начального момента времени, когда v_A = v_D = 0, искомую связь w_A и w_D :

w_A cos  = w_D sin  . (5.5)

Подставляя (5.3) и (5.5) в (5.1), получим после сокращения на y  0

w_D = M g / ( M + 2 m tg² ) .



Задачи для самостоятельного решения

Рис. 41

Задача 5.1. Два тела массами m₁ и m₂, связанные нитью, перекинутой через невесомый блок, скользят по граням неподвижной трехгранной призмы (рис. 41), которые образуют с горизонтом углы  и . Коэффициент трения грузов о грани призмы равен . С каким ускорением w движутся грузы? Сравнить полученное решение с тем, которое возможно в школе.

Ответ : w = g ,

если m₁ достаточно велико, чтобы было обеспечено w  0. Если m₁ достаточно мало, то скольжение происходит в противоположном направлении, а выражение для модуля ускорения отличается от приведенного заменой 1 2 и   . Если отличие m₁ и m₂ не достаточно велико для описанных ситуаций, то тела останутся в покое.

 Задача 5.2. В регуляторе, показанном на рисунке 42, определить угол  при установившемся вращении с угловой скоростью , если масса каждого шара равна m, масса муфты E равна M, отрезки OC = AC = EC = a. Массой стержней, размерами муфты и трением пренебречь.

Рис. 42

Ответ :

 = arccos ,

если  > ; иначе  = 0.

 Задача 5.3. В системе, изображенной на рисунке 43, определить силу T натяжения троса CD и ускорения w₁ и w₂ грузов 1 и 2, массы которых равны, соответственно, m₁ и m₂. Свободные участки тросов считать вертикальными. Массой блоков и трением пренебречь.

Ответы : w₁ = g ,

w₂ = 4 g , T =.

Рис. 44

Рис. 43

Задача 5.4. Два груза массами m₁ и m₂ подвешены на двух нитях, которые навернуты на барабаны как показано на рисунке 44. Барабаны жестко связаны и насажены на общую ось. Радиусы барабанов равны r₁ и r₂. Определить угловое ускорение  барабанов, пренебрегая их массами и массой нитей.

Ответ :

 = g (m₂ r₂ – m₁ r₁) / (m₂ r₂² – m₁ r₁²) .

 Задача 5.5. Тело массой m₁ положили на горизонтальную плоскость. К нему посредством нити, перекинутой через неподвижный блок подвесили другое тело массой m₂. Нить между телом и блоком расположена горизонтально. Коэффициент трения груза о плоскость равен . Найти ускорение w, с которым движутся тела, и силу T натяжения нити. Решить задачу двумя способами, один из которых используется в школе.

Ответы : w = g (m₂ –  m₁) / (m₁ + m₂),

T = g m₁ m₂ (1 + ) / (m₁ + m₂).

Рис. 45

Задача 5.6. Четыре бруска массами m₁, m₂, m₃, m₄ соединены друг с другом нитями. Три первых бруска положили на гладкий горизонтальный стол, а четвертый посредством неподвижного блока подвесили на вертикальном участке нити. Остальные участки нити расположены горизонтально. Определить ускорение w системы и силу T натяжения нити между первым и вторым брусками, дальше всего удаленными от блока. Решить задачу двумя способами, один из которых используется в школе.

Ответы :

w = g m₄ / (m₁ + m₂ + m₃ + m₄) ,

T = g m₄ m₁ / (m₁ + m₂ + m₃ + m₄) .

 Задача 5.7. Нить, один конец которой закреплен в точке A, охватывает подвижный блок O, к которому подвешен груз массой m₁, и неподвижный блок O₁ (рис.45). К другому концу нити привязан груз массой m₂. С каким ускорением движется второй груз? Массой блоков и нити, а также трением пренебречь. Решить задачу двумя способами, один из которых используется в школе.

Ответ :

= 2 (2m₂ – m₁) / (4 m₂ + m₁).

Рис. 46

Задача 5.8. В центробежном регуляторе, изображенном на рис. 46, каждый из грузов A и B имеют массу m, а муфта C – массу M. Пренебрегая массой стержней, определить, на какую высоту x поднимается муфта, если регулятор равномерно вращается с угловой скоростью . Считать, что при отсутствии вращения угол  = 0. Трением и размерами муфты пренебречь.

Ответ : x = 2 a ,

если  > , иначе x = 0.

Рис. 47

Задача 5.9. К концам горизонтального рычага AB прикреплены две нити, перекинутые через блоки C и D. К свободным концам нитей подвешены грузы массами m₁ и m₂ (рис. 47), которые отпущены без начальной скорости. Найти в этот момент времени ускорение груза массойm₁, если отношение плеч рычага OA / OB = k. Массами рычага и блоков, а также трением пренебречь. Участки нитей AC и BD расположены вертикально.

Ответ :

= k (m₁ k – m₂) / (m₁ k ² + m₂).