§ 3. Динамика частиц

 Пример 3.1. Груз массой m = 10 кг, подвешенный к тросу длиной l = 2 м, совершает колебания согласно уравнению  = ( / 6) sin (2  t), где  – угол отклонения троса в радианах, t – время в секундах. Определить силы натяжения T₁ и T₂ троса при самом низком и самом высоком положениях груза.

Решение.

Свободные колебания подвешенного груза происходили бы с циклической частотой ₀ =  c^–2. В данном же случае речь идет о колебаниях, для которых эта частота составляет ₀ = 2   6 с^–2. Такие колебания могут быть только вынужденными, обусловленными некоторой периодической силой. Эта сила должна быть направлена перпендикулярно тросу, чтобы непосредственно не влиять на его натяжение.

Для нижнего положения груза ( = 0, или sin(2  t) = 0) уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление троса имеет вид

m a_n = T₁ – m g , (3.1)

где a_n = – центростремительное ускорение. Таким образом получим:

T₁ = m g + m ² l = m g + m ⁴ l / 9,

или T₁ = m (g + ⁴ l / 9)  3,1·10² Н.

Для самого высокого положения груза уравнение, аналогичное (3.1), имеет вид

T₂ – m g cos _m = 0 . (3.2)

Нормальное ускорение равно нулю, поскольку в нуль обращается , а _m =  / 6 в соответствии с заданным в условии уравнением движения. Таким образом, получим из (3.2)

T₂ = m g cos ( / 6)  85 Н.

 Пример 3.2. Тело массой m движется в однородном поле тяжести при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости. В начальный момент времени скорость тела равна v₀ и направлена под углом  к горизонту. Найти временные зависимости проекций скорости и координат тела.

Решение.

Для описания движения тела применим второй закон Ньютона. К телу приложены две силы: сила тяжести, направленная вертикально, и сила сопротивления, направленная против скорости (рис. 23). В вертикальной плоскости, содержащей иm, должно лежать и ускорение, а, следовательно, и траектория. В плоскости траектории целесообразно выбрать систему декартовых координатz 0 y (рис. 23) для определения положения тела. В проекциях на указанные координатные оси уравнения второго закона Ньютона имеют вид

m = – k, (3.3)

m = – m g – k.(3.4)

Рис. 23

Здесь k – коэффициент сопротивления.

Первые интегралы уравнений (3.3) и (3.4) находятся методом разделения переменных:

= – ;= –.

При интегрировании учтены начальные условия

_t=0 = v₀ cos  и _t=0 = v₀ sin  .

Так получаем:

= v₀ cos  exp ( – k t / m) , (3.5)

= – m g / k + (v₀ sin  + m g / k) exp ( – k t / m) . (3.6)

Интегрирование уравнений (3.5) и (3.6) с начальными условиями y = 0 и z = 0 при t = 0 дает кинематические уравнения

y = (m / k) v₀ cos  ( 1 – exp ( – k t / m) ) , (3.7)

z = (m / k) (v₀ sin  + m g / k) ( 1 – exp ( – k t / m) ) – m g t / k. (3.8)

Детальный анализ полученных уравнений удобно проводить с помощью компьютера (см. задачи (3.8) и (3.9).). Здесь же запишем приближенные выражения, которые получаются из (3.7) и (3.8) при k t / m << 1, то есть при достаточно малом сопротивлении. Можно ограничиться первыми членами разложения:

exp ( – k t / m)  1 – k t / m + (k t / m)² / 2. (3.9)

Подставляя (3.9) в (3.7) и (3.8) и пренебрегая величиной k t / m по сравнению с единицей, получим

y  v₀ t cos ; z = v₀ t sin  – g t² / 2 .

Именно эти выражения используются а школе в качестве кинематических уравнений движения частицы в однородном поле тяжести. Видим, что они правильно описывают движение при условии k t / m << 1.

 Пример 3.3. В момент раскрытия парашюта вертикальная составляющая скорости падания парашютиста равна v₀. Парашютист испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное первой степени скорости. Определить вертикальную составляющую скорости парашютиста в зависимости от предельной скорости v_П и времени t.

Решение.

Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось x, направленную вертикально вниз:

m = m g – k.(3.10)

Здесь m – масса парашютиста, g – ускорение свободного падения, k– коэффициент сопротивления. Решим это уравнение относительно переменной v : :

m = m g – k v =.(3.11)

Пределы интегрирования в (3.11) определяются начальными условиями. Подобный прием интегрирования дифференциальных уравнений движения позволяет автоматически исключать произвольные постоянные.

Вычислив интегралы в (3.11) и произведя потенцирование, получим:

v = v_п – (v_п – v₀) exp ( – k t / m) , (3.12)

где v_п = m g / k . (3.13)

Именно к значению v_П стремится скорость v при t  . Поэтому v_П естественно называть предельной скоростью. Практически v  v_П, когда k t / m приблизительно достигнет значения 2  3. Величину предельной скорости находят и в школе из условия, что сила сопротивления k v_П уравновешивается силой тяжести m g.



Задачи для самостоятельного решения

 Задача 3.1. С поверхности Земли вертикально вверх брошено тело со скоростью v₀. Определить, с какой скоростью v₁ оно упадет обратно на Землю, если сила сопротивления воздуха F_c = m k v² , где m – масса тела, v – скорость, k – постоянная.

Ответ : v₁ = .

 Задача 3.2. Маленький шарик массой m движется под действием силы тяжести по внутренней поверхности лежащей горизонтально трубы радиусом r. В начальный момент шарик находился в одной горизонтальной плоскости с осью трубы и был отпущен без толчка. Пренебрегая трением, определить скорость v шарика и силу реакции F поверхности трубы в тот момент, когда прямая, соединяющая шарик с центром траектории, образует угол  с вертикалью.

Ответы : v = ; F = 3 m g cos .

 Задача 3.3. Шарик массой m закреплен на конце упругого стержня и движется согласно уравнениям: x = a cos (k t), y = b sin (k t), где k, a и b – постоянные (рис. 24). Определить силу , с которой стержень действует на шарик. Отклонение от положения равновесия, то есть модуль радиус-вектора, (рис. 24), считать малым.

Ответ : = –k² m .

 Задача 3.4. Автомобиль, трогаясь с места, равномерно набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющей собой дугу окружности радиуса R = 100 м. Описав дугу величиной  = 30⁰, дорога становится прямолинейной. С какой максимальной скоростью v автомобиль может выехать на прямолинейный участок дороги, если коэффициент трения колес об асфальт  = 0,30.

Ответ : v =  53 км/ч.

Рис.24

Задача 3.5. Частица массой m движется по эллипсу

x² / a² + y² / b² = 1.

Ускорение параллельно оси y. В начальный момент времени частица находилась в точке с координатами x = 0 и y = b, двигаясь со скоростью v₀. Определить силу , приложенную к частице в каждой точке ее траектории.

Ответ : Проекция искомой силы на ось x равна нулю, а на ось y она принимает значение F_Y = – m v₀² b⁴ / (a² y³).

 Задача 3.6 Ш. На концах нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены два тела массой по m =240 г каждый. Какой добавочный груз m₁ надо положить на одно из тел, чтобы каждое из них прошло за время t = 4 с путь s = 160 см?

Ответ : m₁ = 4 m s / (g t² – 2 s)  10 г.

 Задача 3.7 *). Пылинка массой m и зарядом q помещена в заряженный конденсатор. Напряженность поля конденсатора изменяется со временем по закону E = E₀ exp (– t). Пренебрегая силой тяжести, найти кинематическое уравнение движения пылинки при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости (коэффициент пропорциональности – k). Координатная ось x направлена перпендикулярно пластинам. В начальный момент времени частица неподвижна и находится в начале координат.

Ответ :

x = (1 – exp (–k t / m) ) –(1 – exp (– t) ).

 Задача 3.8 К. Исследовать с помощью компьютера (файл «Ballist») временную зависимость вертикальной проекции скорости частицы, движущейся вблизи поверхности Земли, при k / m = 0,01; 0,1; 0,2; 0,5; 1. Здесь k – коэффициент сопротивления, а m – масса частицы.

Указания.

1). Искомая зависимость описывается формулой (3.6).

2). v₀ sin  = 10 м/с; 0  t  20 с.

Задания.

1). Объяснить качественно наблюдаемые временные зависимости проекции скорости и ускорения (смотри (3.4)). Нарисовать в одном масштабе семейство графиков проекций скорости.

2). Найти предельные значения величины при различных параметрах k / m. Результаты представить в виде таблицы.

3). В какие моменты и почему величина = – g ?

 Задача 3.9 К. Исследовать с помощью компьютера (файл «Ballist») траекторию движения частицы в однородном поле тяжести с учетом сопротивления воздуха.

Указания.

1).Уравнения движения имеют вид (3.7) и (3.8).

2). V₀ = 20 м/с,  = 45⁰, k / m = 0,01; 0,5; 0,1.

Задания.

1). Найти для каждого параметра k / m величины t, y и z, соответствующие значениям z = z_max и z = 0.

Результаты представить в виде таблицы.

2). Зарисовать траектории на одном рисунке в одном масштабе.

3). При каких углах  дальность полета максимальна?

4). Что длится дольше – подъем или падение? На каком из этих этапов движения частица дальше смещается в горизонтальном направлении?

 Задача 3.10 Ш. С какой скоростью v может ехать мотоциклист по горизонтальной дороге, описывая дугу радиусом R = 100 м, если коэффициент трения колес о дорогу  = 0,4? На какой угол  от вертикального положения он при этом должен отклоняться?

Ответы : v   20 м/с,  = arctg (v² / R g)  arctg   20.

Рис. 25

Задача 3.11 Ш. Гирька массой m = 100 г, подвешенная на нити длиной l = 40 см, колеблется в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения F в тот момент времени, когда угол отклонения составляет  = 60⁰, а скорость гирьки v = 2 м/с.

Ответ : F = m v² / R + m g cos   1,5 Н.

 Задача 3.12 Ш. Найти ускорения и тел массамиm₁ и m₂, а также силу натяжения нити F в системе, показанной на рисунке 25. Блоки и нити считать невесомыми, трением пренебречь.

Ответы :

= ,= –/ 2;F = .

 Задача 3.13 Ш. Определить ускорение a тел в системе, показанной на рисунке 26. Коэффициент трения  между телом m₁ и плоскостью равен 0,10. Масса m₁ = 1,5 кг, m₂ = 0,50 кг, сила F = 10 Н. Угол  между силой и горизонтальной плоскостью равен 30⁰.

Ответ : a =  1,4 м/с² .

Рис.26

Задача 3.14 Ш. По наклонной дороге с углом наклона  = 30⁰ к горизонту опускается вагонетка массой m = 500 кг, удерживаемая канатом, параллельным дороге. Определить силу натяжения каната при торможении вагонетки в конце спуска, если ее скорость перед торможением была v₀ = 2,0 м/с, а время торможения t = 5,0 с. Коэффициент трения принять равным  = 0,010.

Ответ :

F = m (g sin  –  g cos  + v₀ / t)  2,6 кН.

 Задача 3.15. Движение частицы массой m по прямой линии, принятой за координатную ось x, задано уравнением x = a ln (1 + v₀ t / a), где a и v₀ – постоянные. Определить проекцию F_X силы, действующей на частицу, как функцию времени t и как функцию скорости v.

Ответ : F_X = – m a v₀² / (a + v₀ t)² = – m v₀² / a.

 Задача 3.16. Движение частицы массой m происходит по окружности радиусом r согласно уравнению s = r exp (2 t), где s – путь, пройденный частицей за время t. Определить силу, приложенную к частице, как функцию времени.

Ответ : F = 4 m r exp (2 t) .

 Задача 3.17. Электромотор массой M установлен на горизонтальном фундаменте. Центр масс ротора не лежит на оси вращения, а смещен от нее на расстояние r. Ротор вращается с постоянной угловой скоростью  и имеет массу m. Определить, в каких пределах меняется сила F давления мотора на фундамент.

Ответ : (M +m) g – m ² r  F  (M +m) g + m ² r.

 Задача 3.18. Частица массой m движется прямолинейно под действием силы, проекция которой на направление движения изменяется со временем t по закону F = F₀ cos ( t), где F₀ и  – постоянные величины. Скорость частицы в начальный момент времени была равна v₀. Найти уравнение движения частицы.

Ответ : Координата частицы x = v₀ t + F₀ (1 – cos ( t)) / (m ²).

 Задача 3.19. Планеру массой m сообщили скорость v₀, после чего он движется в свободном полете горизонтально, испытывая сопротивление воздуха F = k v, где v – скорость планера, а k – коэффициент сопротивления. Какое расстояние s пролетит планер за время t?

Ответ : s = m v₀ (1 – exp (–k t / m)) / k .

 Задача 3.20 K*). Груз массой m = 100 г, подвешенный к концу пружины жесткостью c = 19,6 Н/м, сместили из положения равновесии на расстояние x₀ = 10 мм и отпустили, сообщив ему скорость v₀ = 0,50 м/c в направлении, противоположном смещению. Найти зависимость координаты груза x от времени t, если сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости. Координаты груза отсчитываются от положения равновесия в вертикальном направлении. Проанализировать движение при двух различных коэффициентах сопротивления:  = 1,5 Н/м и  = 3,5 Н/м. Можно воспользоваться файлами «DXDT2» и «F(X)». Результаты следует представить в виде графиков с указанием координат характерных точек.

Ответы: При  = 1,5 кинематическое уравнение можно представить в виде x(t) = A exp(– t) cos( t +₀), где A = 0,0373, 2 = / m, ^ = c / m^, ₀ =1,299;характерные точки: x(0,022) = 0 и x(0,108) = – 0,0140. При  = 3,5 кинематическое уравнение можно представить в виде

x(t) = exp(– t) (B exp( t) + C exp(– t)), где B = –0,01048, С = 0,02048; характерные точки: x(0,032) = 0 и x(0,048) = – 0,0396.

 Задача 3.21 Ш*). На тонкую вертикальную спицу надели кольцо радиусом r и, толкнув, его закрутили вокруг спицы. При какой угловой скорости  кольцо будет устойчиво вращаться, не падая? Коэффициент трения между спицей и кольцом равен .

Ответ : .