§ 2. Кинематика твердого тела

 Пример 2.1. Кривошип OA механизма, показанного на рисунке 10, вращается с угловой скоростью ₀. Определить скорость v_c точки C, а также угловую скорость _BD звена BD в том положении механизма, в котором звено BC занимает вертикальное положение. Длины звеньев и изображенные на рис. 10 углы заданы: OA = AB = a; BD = a ;  = 30⁰ ;  = 60⁰.

Решение.

К рассматриваемому механизму можно применять известные соотношения, описывающие плоское движение абсолютно твердого тела.

Рис. 10

Наметим вначале план решения. Для нахождения скорости нужно определить скоростьточкиB, которая зависит от скороститочкиA , принадлежащей кривошипу OA. Движение последнего задано. Поэтому, переходя последовательно от описания движения звена OA к анализу движения звеньев AB и BC, достигнем цели.

По формуле Эйлера

v_A = ₀ a (2.1)

причем вектор перпендикуляренOA. Направление движения еще одной точки звена AB также известно: скорость перпендикулярнаBD. Это позволяет найти мгновенную ось P вращения звена AB (рис. 10). Применяя формулу Эйлера для вращения звена AB вокруг мгновенной оси P с угловой скоростью _AB, получим

v_A = _AB · AP . (2.2)

Нетрудно показать, что при заданной в задаче конфигурации механизма AP = a / 2 . C этим значением из (2.2) и (2.1) получим _AB = 2 ₀. Скорость точки B по той же формуле Эйлера равна

v_B = _AB BP = 2 ₀·a / 2 = ₀ a.

Точка В принадлежит звену BD, угловую скорость которого также требуется найти в задаче. Применяя к этому звену формулу Эйлера, получим один из ответов:

_BD = v_B / BD = ₀ a/(a) = ₀ .

Осталось связать скорости _B и . Для этого можно воспользоватьсятеоремой о равенстве проекций скоростей точек абсолютно твердого тела на прямую, их соединяющую:

v_C = v_B cos (90⁰ – ) = 3 ₀ a / 2 .

 Пример 2.2. Катушка радиусом R катится без скольжения по горизонтальной плоскости под действием груза массой M, привязанного к нити, намотанной на барабан катушки (рис. 11). Радиус барабана – r. Груз имеет в данный момент времени скорость v и ускорение w. Определить ускорения w₀ , w_B , w_D и w_C точек, отмеченных на рисунке 11.

Рис. 11

Решение.

Катушка совершает плоскопараллельное движение, вращаясь вокруг мгновенной оси C (рис. 11). Если нить нерастяжима и не проскальзывает, то скорость v_D и тангенциальное ускорение w_D точки D катушки равны, соответственно, v и w.

Проще всего определить ускорение точки O, поскольку эта точка движется прямолинейно, то есть ее скорость  (рис. 11). Ускорения остальных точек катушки могут быть выражены через соотношением, аналогичным теореме Шаля. Для точки B имеем:

= + , (2.3)

где ускорение точки В относительно точкиO равно сумме нормального и тангенциальногоускорений:

=+. (2.4)

Соответствующий формулам (2.3) и (2.4) векторный многоугольник изображен на рисунке 12. Величины w_Bn и w_B можно выразить через угловую скорость  и угловое ускорение  барабана:

w_Bn = ² R ; w_B =  R. (2.5)

Рис. 12

Угловая скорость находится из формулы Эйлера, примененной к вращению точки D вокруг C:

 = v / (R – r). 2.6)

Та же формула, примененная к вращению точки O вокруг C, дает:

v₀ =  R  w₀ == R = w_B . (2.7)

С другой стороны, v₀ = v R / (R – r) . Следовательно,

w₀ = = =w . (2.8)

С учетом (2.5) – (2.8) получим из рисунка 12:

w_B² = w_Bn² + (w_B + w₀)² = w_Bn² + 4 w₀² 

w_B = .

Рис. 13

Для точки D соотношения, аналогичные (2.3) и (2.4), приводят к рисунку 13. Здесь

w_Dn = ² r = , (2.9)

w_D = r = w , (2.10)

w₀ – w_D = w. (2.11)

Последнее соотношение следует из (2.8) и (2.10). С найденными значениями получим из рисунка 13:

w_D² = w_Dn² + (w₀ – w_D)²  w_D = .

Ускорение w_C найдите самостоятельно. Должно получиться

w_C = v² R / (R – r)² .

 Пример 2.3. Определить ускорение w_B поршня B и угловое ускорение _AB шатуна AB в положении кривошипно-шатунного механизма, изображенного на рисунке 14. Длина кривошипа OA равна r, шатуна AB – l. В указанном положении угловая скорость вращения кривошипа OA равна , а его угловое ускорение – .

Решение.

Искомое ускорение следует связать с ускорениемточки А, поскольку она принадлежит кривошипу ОА, движение которого известно:

= +

Рис. 14

= +++. (2.12)

Направления ускорений показаны на рисунке 15. Для определенности выбрано  = > 0. Этому соответствует указанное на рисунке 15 направление. Тангенциальное ускорение, возможно, имеет и противоположное направление. Куда именно направлено, будет выяснено в процессе решения.

Найдем модули ускорений:

w_An = ² r ; w_A =  r; (2.13)

w_Bn = _AB² l ; (2.14)

Рис.15

w_B = _AB l . (2.15)

Для нахождения _AB воспользуемся теоремой Шаля:

= + . (2.16)

Так как  , а имеет иное направление, то равенство (2.16) возможно только при = 0, то есть шатун AB в рассматриваемый момент движется поступательно. Следовательно, _AB = 0 и, в соответствии с (2.14), w_Bn = 0.

Направление искомого вектора задается стенками цилиндра с поршнем, поэтому целесообразно записать уравнение (2.12) в проекциях на осиx и y (рис. 15). При этом учтем (2.13) – (2.15):

w_Bx = ² r – (_AB l cos ) = 0 ; (2.17)

w_By =  r – (_AB l sin ) . (2.18)

Верхний знак в этих формулах соответствует показанному на рисунке 15 направлению , нижний – противоположному. Чтобы обеспечить равенство (2.17), следует оставить лишь верхний знак, то есть ускорениенаправлено именно так, как указано на рисунке 15.

Подставляя в (2.17) и (2.18) cos  = и sin  = , получим ответы:

_AB = ; w_By = r ( – ) .

Если  > , то w_By = w_B > 0, то есть направлено к точкеO. При меньших , в том числе и при  < 0, направлено в противоположную сторону.



Задачи для самостоятельного решения

Рис. 16

Задача 2.1. Определить скорость точки D шатуна NK в положении механизма, изображенном на рисунке 16, когда коромысло O₁N перпендикулярно к шатуну NK и параллельно направляющим ползуна B, а скорость ползуна B равна v. Отрезок DK = NK / 3.

Ответ : v_D = 2 v / 3.

 Задача 2.2. Центр колеса, которое катится по наклонной плоскости без скольжения, движется по закону s = 4 t² + 16 (t – в секундах, s – в сантиметрах). Определить ускорение w точки касания колеса с плоскостью в момент времени t = 2 с, если радиус колеса R = 16 см.

Ответ :

w = = 16 см/с².

 Задача 2.3. Кривошип OA, вращаясь с постоянной скоростью , приводит в движение колесо радиуса r, катящееся без проскальзывания по неподвижному колесу радиуса R (рис. 17). Найти скорость v_B и ускорение w_B точки B.

Ответ :

Рис. 17

v_B = 2  (R + r) ;

w_B = ² (R + r) (R + 2r) / r .

 Задача 2.4. Колесо радиусом r катится без скольжения по неподвижному рельсу. Зная, что ускорение точки касания в данный момент равно w, определить в этот момент скорость v диаметрально противоположной точки.

Ответ : v = 2 .

Рис. 18

Задача 2.5. Cуммирующий механизм, изображенный на рисунке 18, состоит из зубчатого колеса радиусом r и двух подвижных параллельных зубчатых реек. Определить ускорения w_A, w_B точек A и B зубчатого колеса, находящегося в зацеплении с рейками, если рейки движутся с постоянными скоростями v₁ и v₂: а) в одном направлении, б) в противоположных направлениях.

Ответы :

а) w_A = w_B = (v₁ – v₂)² / (4 r) ;

б) w_A = w_B = (v₁ + v₂)² / (4 r) .

Рис. 19

Задача 2.6. *). Колесо радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью v₀ центра O (рис. 19) и приводит в движение ползун B при помощи шатуна AB длиной l. Определить ускорение w_B ползуна B при крайнем верхнем и крайнем нижнем положениях точки A, если OA = R / 2.

Ответы :

w_B = ;

w_B = .

Рис. 20

Задача 2.7. Подъем трубы B производится тросами при помощи ступенчатого барабана A (рисунок 20), вал которого делает n = 10 оборотов за время t = 1 мин. Определить скорость v подъема трубы, если меньший радиус барабана r = 5 см, а больший – R = 15 см.

Ответ :

v =  n (R – r) = 5,2 см/с.

 Задача 2.8. В шарнирном четырехзвеннике ABCD (рис. 21) ведущий кривошип AB вращается с постоянной угловой скоростью ₀ = 6  с^–1. Определить угловые скорости _CD и _BC кривошипа CD и стержня BC в тот момент, когда AB и BC лежат на одной прямой. BC / AB = 3.

Ответы : _CD = 0;

_BC = ₀ AB / BC = 2  с^–1.

Рис. 21

Задача 2.9. В кривошипно-шатунном механизме, изображенном на рисунке 22, длина кривошипа OA равна r, а длина шатуна AB – l. Определить угловую скорость  и угловое ускорение  кривошипа OA в тот момент, когда угол  =  / 2, если в этот момент поршень B движется со скоростью v и с ускорением w.

Ответы :

 = v / r ,

Рис. 22

= .

 Задача 2.10. В кривошипно-шатунном механизме, изображенном на рисунке 22, длина кривошипа OA равна r. Определить ускорение w точки A в тот момент, когда угол между OA и AB прямой, если в этот момент угол  = 30⁰, а скорость ползуна B имеет максимальное значение v₀.

Ответ : w = = .

 Задача 2.11. Изображенный на рисунке 18 суммирующий механизм состоит из зубчатого колеса радиусом R и двух параллельных зубчатых реек, движущихся в одну сторону со скоростями v₁, v₂ и ускорениями w₁, w₂. Определить ускорения w_A и w_B точек A и B зубчатого колеса, находящегося в зацеплении с рейками.

Ответы : w_A = , w_B = .

 Задача 2.12*). По внутренней цилиндрической поверхности, радиус которой равен R, катится диск радиусом 2 R / 3. Определить радиус кривизны r_K траектории той точки диска, которая наиболее удаленна от точки касания.

Ответ : r_K = 8 R / 3.