Задачи для самостоятельного решения

 Задача 9.1. Однородный диск радиусом R, вращающийся с угловой скоростью ₀ вокруг своей оси, расположенной вертикально, опустили на горизонтальную плоскость. Коэффициент трения диска о плоскость равен . Через сколько времени t диск остановится?

Ответ : t = 3 R ₀ / (4 g ) .

 Задача 9.2. Груз массой m прикреплен к тросу, намотанному на сплошной цилиндрический барабан, который может вращаться вокруг оси цилиндра, расположенной горизонтально. Масса барабана равна M. Ось барабана фиксируется подшипниками. Определить ускорение w опускающегося груза, а также силу F давления барабана на подшипники. Массой троса и трением пренебречь.

Ответы : w = ; F = g .

 Задача 9.3. Однородный сплошной цилиндр с горизонтальной осью скатывается без скольжения под действием силы тяжести по наклонной плоскости. Коэффициент трения равен . Каков угол  наклона плоскости к горизонту и каково ускорение w оси цилиндра? Сопротивлением качения пренебречь.

Ответы :   arctg (3 ) ; w = (2/3) g sin  .

 Задача 9.4. Решить задачу из примера 9.1, предполагая, что начальная скорость оси цилиндра направлена противоположно скорости его верхних точек.

Ответы :

v = v₀ –  g t и  = ₀ – 2  g t / r пока t < t₁ = (v₀ + ₀ r) / (3  g) ,

после чего v = v₁ = (2 v₀ – ₀ r) / 3 и  ₁ = – v₁ r .

Рис. 68

Задача 9.5. Горизонтальная платформа в виде однородного сплошного диска радиусом R и массой M может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На платформе находится человек массой m на расстоянии r от оси вращения. С какой угловой скоростью  будет вращаться первоначально покоившаяся платформа, если человек станет двигаться со скоростью u относительно платформы перпендикулярно ее радиусу?

Ответ :

 = 2 m r u / (M R² + 2 m r²) .

 Задача 9.6 Ш. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью v, застревает в бруске массой M (рис. 68). Брусок лежит на гладкой горизонтальной плоскости и соединен с вертикальной стенкой пружиной жесткостью k. Найдите наибольшую деформацию x пружины.

Ответ : x = .

Рис. 69

Задача 9.7. Шкив M, вращающийся с угловой скоростью ₀, тормозится при помощи ручного тормоза (рис. 69). Какой силой P надо прижать рукоятку, чтобы шкив остановился через время t, если коэффициент трения равен , длина рукоятки a, OK = b, момент инерции шкива J, его радиус r.

Ответ : P = J ₀ b / ( a r  t) .

 Задача 9.8. Однородному стержню длиной 2 l, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщена угловая скорость ₀ вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр. Определить время t вращения стержня до остановки, считая его давление на плоскость равномерным, а коэффициент трения о плоскость равным .

Ответ : t = 2 ₀ l / (3 g ) .

Рис. 70

Задача 9.9. При пуске в ход электрической лебедки, изображенной на рисунке 63, к барабану приложен вращающий момент M, пропорциональный времени t, то есть M = a t , где a – постоянная. Груз массой m поднимается посредством каната, навитого на барабан, радиус которого r, а масса – m₁. Определить угловую скорость  барабана, считая его сплошным однородным цилиндром. В начальный момент лебедка находилась в покое.

Ответ :  =

Рис. 71

Задача 9.10. Четыре одинаковых груза массами m₁ каждый вращаются на крестовине в вертикальной плоскости (рисунок 70). Расстояния от грузов до оси вращения одинаковы и равны l. Крестовина приводится во вращение при помощи груза массой m₂, прикрепленного к нити, намотанной на барабан. Определить силу T натяжения троса, если радиус барабана, на который он намотан, равен r. Массой барабана, крестовины и троса, а также трением пренебречь.

Ответ : T = 4 m₁ m₂ g l² / (4 m₁ l² + m₂ r²) .

 Задача 9.11. Груз массой m₁ поднимается при помощи ворота. Масса барабана ворота равна m₂, радиус барабана R, длина рукоятки l (рисунок 71). Считая силу F, приложенную перпендикулярно к рукоятке барабана, постоянной по модулю, найти зависимость перемещения x груза от времени t, а также силу T натяжения троса. Барабан считать сплошным однородным цилиндром. Массой рукоятки пренебречь.

Ответы :

x = ; T =

 Задача 9.12. Однородная тонкостенная труба массой m поднимается при помощи идеальных невесомых блоков как показано на рисунке 72. Определить угловое ускорение  трубы и время t ее подъема на высоту h, если к концам тросов приложены силы ₁ и ₂ . Радиус трубы равен r.

Рис. 72

Ответы :  = ;t = .

Рис. 73

Задача 9.13. Однородная круглая катушка радиусом R и массой m обмотана в средней части нитью так, что концы нити расходятся в разные стороны, как показано на рисунке 73, и натягиваются постоянными силами ₁ и ₂. Найти проекцию ускорения w_X, с которым будет двигаться ось катушки, если момент инерции катушки равен J, радиус ее средней части – r . Катушка движется без скольжения.

Ответ:

w_X = .

Рис. 74

Задача 9.14. Тяжелый круглый цилиндр A массой m обмотан тонкой нитью конец которой B закреплен неподвижно (рис.74). Цилиндр опускается вниз без начальной скорости, раскручивая нить. Определить скорость v оси цилиндра, после того как эта ось опустится на высоту h, а также силу T натяжения нити.

Ответ : v = ; T = m g / 3 .

Рис. 75

Задача 9.15. На тележке, движущейся со скоростью v, находится груз массой m (рис.75). Движению груза вперед по тележке препятствует упор B, высотой которого можно пренебречь. При мгновенной остановке тележки груз начинает опрокидываться, поворачиваясь вокруг упора. Определить угловую скорость  опрокидывания груза, если его момент инерции относительно упора равен J, а центр масс C возвышается над тележкой на высоту h.

Ответ :  = m h v / J .

 Задача 9.16. Два диска вращаются вокруг одной и той же оси с угловыми скоростями ₁ и ₂. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны J₁ и J₂ . Определить потерю E кинетической энергии в случае, когда оба диска будут внезапно соединены вместе.

Ответ : E = (1/2) J₁ J₂ (₁ – ₂)² / (J₁ + J₂) .

 Задача 9.17. Тело массой M свободно падает с высоты H. На высоте H / 2 в него попадает и застревает пуля массой m, летевшая горизонтально со скоростью v₀. Найти модуль скорости v тела после соударения и угол  ее наклона к горизонту.

Ответы : v = ;  = arctg .

 Задача 9.18 Ш. Из орудия массой M выстреливают снарядом массой m. Снаряд вылетает со скоростью u относительно орудия. Ствол наклонен под углом  к горизонту. Какова скорость v отката орудия?

Ответ : v = (m u cos ) / (M + m) .

 Задача 9.19 Ш. Движущийся шар ударяет в неподвижный шар такой же массы, после чего шары движутся как одно целое. Какая часть механической энергии переходит во внутреннюю?

Ответ : Половина.

 Задача 9.20. Винтовка массой M подвешена горизонтально на двух параллельных нитях. При выстреле в результате отдачи она откачнулась вверх на высоту h. Масса пули равна m. Определить скорость v, с которой вылетела пуля.

Ответ : v = (M / m) .

 Задача 9.21 Ш. Шарик массой m падает на горизонтальную плоскость с высоты h и после этого отскакивает на высоту h₁. Найти среднюю силу F удара, если он продолжался время t.

Ответ : F = m / t + m g .

 Задача 9.22 К*) Найти время t, в течение которого будет падать карандаш длиной l = 18 см, если его поставить острием на шероховатую горизонтальную поверхность и отпустить, наклонив предварительно на угол  = 1,0⁰ к вертикали.

Ответ: t = 0, 57 с.

 Задача 9.23 *) Однородный сплошной диск массой m и радиусом r, вращаясь с угловой скоростью ₀ вокруг горизонтально расположенной оси, падает отвесно со скоростью v на горизонтальную поверхность с коэффициентом трения . Под каким углом  к горизонту отскочит диск?



Ответ: ctg  =

₀ r / (3v), если ₀ r < 6  v

2 , если ₀ r ≥ 6  v

 Задача 9.24 К*). Частица массой m движется вдоль оси x в поле, потенциальная функция которого имеет вид U = k x² exp(–a x) / 2. Параметры k и a – положительные числа. Найти зависимость периода колебаний T от энергии E.

Указания: Следует перейти к безразмерным переменным y = a x,  = E a² / k и построить график зависимости безразмерной величины  = T / 2 от . При малых  положите exp(–a x)  1 и найти аналитическое решение. При других значениях  проделайте численные расчеты с помощью компьютера.

Ответ : T = 2 , где y1 и y2 соответствуют точкам остановок. При   0 величина  = . Функция  () возрастает:

(0,08)  3,2, (0,16)  3,7, (0,24)  5.