IV. Прикладные задачи классической механики

Под прикладными задачами классической механики здесь подразумеваются задачи, решение которых имеет весьма широкое практическое применение и которые наиболее рационально решаются с использованием функции Лагранжа и законов сохранения. К таким задачам относятся: задача о прямолинейном движении частицы в потенциальном поле произвольного вида; задача двух тел, которая включает в себя задачу о столкновениях и о движении –точки в центральном поле, в частности, в поле тяготения и кулоновском поле; задача об одномерном и многомерном осцилляторах. Цель приведенных ниже задач – дать возможность лучше уяснить происхождение тех или иных важных для практики положений, а также научиться их использовать в конкретных ситуациях.

§ 10. Задача Кеплера

 Пример 10.1. Комета движется по эллипсу, эксцентриситет которого – . В перигелии скорость кометы равна v₀ . Найти скорость кометы v как функцию полярного угла .

Решение.

Движение кометы в поле тяготения Солнца описывается задачей Кеплера. Одним из интегралов движения является энергия

E = m v² / 2 –  / r . (10.1)

Второе слагаемое в (10.1) – потенциальная энергия системы "комета – Солнце", а m – масса кометы. Этот интеграл движения определяет большую полуось орбиты a :

a = –  / (2 E) , (10.2)

которая выражается через фокальный параметр p и эксцентриситет орбиты  следующим образом:

a = p / (1 – ²) . (10.3)

Еще одним интегралом движения является осевой момент импульса L_Z, который определяет фокальный параметр траектории:

p = L_Z² / (m ) . (10.4)

Постоянные величины E и L_Z найдем для перигелия. Подставляя значения v = v₀; r = r_П = p / (1 + ) и L_Z = v₀ r_П m в (10.4), получим:

p m /  = (1 + )² / v₀² . (10.5)

Искомая зависимость v от  содержится в (10.1), если принять во внимание уравнение траектории:

r = p / (1 +  cos ) . (10.6)

Чтобы выразить эту зависимость в явном виде, следует подставить в (10.1) функцию (10.6), а также учесть соотношения (10.2), (10.3), (10.5). Так получается ответ: v = .



Задачи для самостоятельного решения

 Задача 10.1. Исходя из уравнения траектории, выразить большую a и меньшую b полуоси эллиптической орбиты  - точки в задаче Кеплера ( u (r) = –  / r ) через фокальный параметр p и эксцентриситет , а также через энергию частицы E и осевой момент импульса L_Z.

Ответы : a = = ; b = = .

 Задача 10.2. Две частицы, массы которых равны m₁ и m₂, начали двигаться из состояния покоя под действием сил взаимного притяжения. Определить время , через которое столкнутся частицы, если первоначально расстояние между ними равнялось l .

Ответ :  = .

 Задача 10.3. Комета движется по параболической траектории, фокальный параметр которой равен p, а фокус совпадает с Солнцем. В перигелии скорость кометы равна v₀. Определить скорость кометы как функцию расстояния r до Солнца.

Ответ : v = v₀ .

 Задача 10.4. Зная период T обращения спутника вокруг Земли по эллиптической орбите и разность апогея и перигея H, определить эксцентриситет  орбиты. Масса Земли – M.

Ответ :  = H · .

 Задача 10.5. Найти зависимость периода T обращения планеты вокруг Солнца, масса которого равна M, от массы m планеты (уточнить третий закон Кеплера).

Ответ : T = 2  a^3/2 .

 Задача 10.6. Получить уравнение траектории - точки в задаче Кеплера, воспользовавшись при вычислении интеграла подстановкой

y = L_Z / r –  / L_Z .

 Задача 10.7 К. Исследовать на компьютере траектории движения – точки в задаче Кеплера при:

 /  = ± 1; p = 2; p = 3;  = 0; 0,5; 0,9; 1,3; 1,5; 2; 3.

Указания.

1. Траектория задается параметрическими уравнениями

x = – r cos  ; y = r sin  , где r = p / ( /  +  cos ) …

2. Можно воспользовать готовым файлом «Кеплер».

Задания.

1. Нарисовать на одном рисунке и в одном масштабе траектории в случае притягивающего центра.

2. Определить координаты характерных точек и проверить формулы, выражающие расстояния от фокуса до перицентра, от фокуса до апоцентра, от фокуса до точек, в которых  = ±  / 2. Проверить также формулы, определяющие большую и меньшую полуоси эллипса.

3. В случае инфинитного движения определить углы  = _П, соответствующие асимптотам. Проверить справедливость формулы

 /  +  cos _П = 0 .

4. Выполнить аналогичные задания для отталкивающего центра.

 Задача 10.8. Частица равномерно движется по круговой орбите на высоте H над поверхностью небесного тела массой M и радиуса R. Определить скорость v частицы и период T ее обращения. Решить задачу двумя способами, один из которых может быть использован и в школе.

Ответ : T = 2  .

 Задача 10.9. На какую высоту H нужно запустить искусственный спутник Земли, вращающийся по круговой орбите в плоскости экватора, чтобы он все время находился над одним и том же пунктом Земли? Радиус Земли – R.

Ответ : H = – R  36·10³ км.

 Задача 10.10. Определить, с какой скоростью метеорит войдет в земную атмосферу, если его скорость вдали от Земли была равна v₀ = 10 км/с.

Ответ : v =  15 км/c.

 Задача 10.11. Частица движется в поле центральной силы по окружности радиуса R, которая проходит через притягивающий центр. Трение отсутствует. В момент, когда частица находится на расстоянии 2R от центра притяжения, ее скорость равна v₀. Определить скорость частицы как функцию расстояния r до притягивающего центра.

Ответ : v = 4 v₀ R² / r² .

 Задача 10.12. Комета движется по параболической траектории, фокус которой совпадает с Солнцем, а фокальный параметр равен p. В перигелии скорость кометы равна v₀. Какова скорость v кометы на расстоянии r от Солнца?

Ответ : v = v₀ .

 Задача 10.13 К. На высоте h от поверхности Земли телу сообщили скорость v под углом  к горизонту. По какой траектории будет двигаться тело? Зарисуйте траектории при h = R (R – радиус Земли),  = 0,= 30⁰, v = (2, 3, 6) км/с. Вращением Земли пренебречь.

С какой минимальной скоростью vm и под каким углом m должно двигаться тело, стартовавшее с поверхности Земли, чтобы попасть в точку, удаленную от места старта на четверть земного меридиана? Через сколько временя tk оно достигнет этой точки?

Указания. Можно воспользоваться файлом «Polet». Выполните все задания, содержащиеся в этом файле.

Ответы: vm = 7,195 км/с, m = 22,5⁰, tk = 1,932 10³ с.