- •Предисловие
- •I. Механика ньютона
- •§ 1. Кинематика частицы
- •§ 2. Кинематика твердого тела
- •§ 3. Динамика частиц
- •II. Основы аналитической механики
- •§ 4. Принцип виртуальных перемещений Бернулли
- •§ 5. Динамический принцип виртуальных перемещений
- •§ 6 . Уравнения Лагранжа
- •III. Законы сохранения
- •§ 7. Энергия. Закон сохранения механической энергии
- •§ 8. Импульс. Закон сохранения импульса
- •§ 9. Момент импульса. Применение законов сохранения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •IV. Прикладные задачи классической механики
- •§ 10. Задача Кеплера
- •§ 11. Колебания
- •V. Наиболее общий аппарат классической механики
- •§ 12. Уравнения Гамильтона. Принцип наименьшего действия
- •§ 13. Движение в неинерциальных системах отсчета
- •Литература
§ 6 . Уравнения Лагранжа
Пример 6.1. В планетарном механизме, изображенном на рис. 48, колесо с осью O1 неподвижно; к рукоятке O1O3 приложен вращающий момент M. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Колеса поворачиваются относительно рукоятки без трения и не проскальзывают друг относительно друга. Определить угловое ускорение рукоятки, считая колеса однородными дисками с одинаковыми радиусами r и массами m. Массой рукоятки можно пренебречь.
Решение.
Непосредственно применять законы Ньютона или принцип виртуальных перемещений не представляется возможным, поскольку механизм состоит из бесконечного множества частиц. Зато у него всего одна степень свободы, и поэтому достаточно решить единственное уравнение Лагранжа
–=Q' . (6.1)
В качестве обобщенной координаты q выберем угол поворота рычага, то есть q . Обобщенная сила Q', соответствующая углу поворота , представляет собой указанный в задаче вращающий момент M.
Выразим функцию Лагранжа L = T – U через обобщенную координату и обобщенную скорость . Потенциальная функция не зависит от , так как рукоятка вращается в горизонтальной плоскости. Кинетическая энергия механизма находится с помощью теоремы Кенига:
T = J 22 / 2 + m v22 / 2 + m v32 / 2 + J 32 / 2 . (6.2)
Скорость v2 точки O2 можно выразить по формуле Эйлера через угловую скорость рычага, а также через угловую скорость второго колеса, для которого точки касания с первым являются мгновенной осью вращения:
v2 = 2 r = 2 r, следовательно,
v2 = 2 r и 2 = 2. (6.3)
Скорость v3 точки O3 можно по формуле Эйлера выразить через угловую скорость рычага:
v3 = 4 r . (6.4)
Для нахождения 3 выразим с помощью теоремы Шаля скорость v3 через скорость v точек касания второго и третьего колес:
v3 = v + 3 r . (6.5)
Скорость v может быть выражена по формуле Эйлера через угловую скорость 2 вращения второго колеса:
v = 2 2 r = 4 r .(6.6)
Равенства (6.4) – (6.6) приводят к уравнению
4 r = 4 r +3 r . Отсюда следует, что 3 = 0.
Подставляя в (6.2) найденные значения скоростей, а также выражение для момента инерции колес J = m r2 / 2, получим
L = T = 11 m r2 2 . (6.7)
С функцией (6.7) уравнение Лагранжа (6.1) принимает вид
22 m r2 = M.
Из этого уравнения находим ответ: = = M / (22 m r2).
Пример 6.2. На гладкой горизонтальной плоскости находится треугольная призма ABC (рис. 49) массой M. На грань призмы AB, наклоненную к горизонту под углом , поместили однородный круглый цилиндр массой m как показано на рисунке 49. С каким ускорением w станет двигаться призма?
Решение.
Рассматриваемая в задаче система имеет две степени свободы, поэтомунужно составлять два уравнения Лагранжа вида (6.1). В качестве обобщенных координат выберем расстояние x, на которое перемещается призма за время t, и угол , на который одновременно поворачивается цилиндр. Через эти переменные должна быть выражена функция Лагранжа L = T – U.
Кинетическая энергия системы T складывается из кинетической энергии призмы и кинетической энергии цилиндра. Последняя находится по теореме Кенига:
T = M 2 / 2 + m v2 / 2 + J 2 / 2 . (6.8)
Здесь J = m r2 / 2, где r – радиус цилиндра, v – скорость центра цилиндра относительно Земли. Эту скорость нужно находить по закону сложения скоростей: =ЦЗ = ЦП + ПЗ, где ЦП – скорость центра цилиндра относительно призмы, а ЦЗ – скорость призмы относительно Земли. Соответствующий векторный треугольник изображен на рисунке 49. Скорость призмы vПЗ = , а скорость vЦП = r. Поэтому
v2 = 2 + 2 r2 – 2 r cos . (6.9)
Потенциальная функция U (потенциальная энергия системы «цилиндр – призма – Земля») равна работе силы тяжести при переходе цилиндра в исходное состояние, принятое за нулевое:
U = – m g h = – m g r sin . (6.10)
Подставляя (6.9) в (6.8) и учитывая (6.10), получим
L = (m + M) 2 / 2 + m (3 2 r2 / 4 – r cos) + m g r sin . (6.11)
Функция (6.11) приводит к следующим двум уравнениям Лагранжа:
(m + M) – mr cos = 0 , (6.12)
3 r2 / 2 –r cos = g r sin . (6.13)
Исключая из (6.12) и (6.13) , получим ответ:
w = = m g sin (2) / (3 (m + M) – 2 m cos2).
Задачи для самостоятельного решения
Рис.
50
Ответ : = .
Рис.
51
Ответ :
(m1 + m2) – m1 2 = – m2 g ; (m1 2) = 0 .
Задача 6.3. Изображенный на рисунке 18 суммирующий механизм состоит из зубчатого колеса и двух реек. Колесо имеет радиус r и массу m, которую можно считать распределенной по ободу. Масса каждой рейки равна m1. К одной рейке приложена сила , к другой –; силы направлены в противоположные стороны вдоль реек. Найти угловое ускорение, ускорение w0 оси колеса, а также ускорения w1 и w2 реек.
Ответы : w0 = ; = ;
w1 = ; w2 = .
Задача 6.4. Решить задачу 6.3 в предположении, что силы направлены в одну сторону.
Ответы : w0 = , = ,
w1 = , w2 = .
Рис. 53
Рис. 52
Ответ : = .
Задача 6.6. Два груза массами m1 и m2 связаны невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок массой m (рис.53). Считая блок сплошным однородным цилиндром и пренебрегая трением, найти ускорения 1 и 2 грузов.
Ответ : 1 = – 2 = 2 (m1 – m2) / (m + 2 (m1 + m2)) .
Задача 6.7. Каток A массой m1, скатываясь без скольжения по наклонной плоскости, поднимает посредством нерастяжимой нити, перекинутой через блок B, груз C массой m2 (рис. 54). При этом блок B вращается вокруг неподвижной оси O. Каток А и блок B – однородные диски одинаковой массы и радиуса. Наклонная плоскость образует угол с горизонтом. Определить ускорение w оси катка.
Рис. 54
Рис.
55
Ответ : w = 2 g ( M + m) sin / (2 M + 3 m) .
Задача 6.9. К ведущему шкиву 1 ременной передачи, изображенной на рис. 56, приложен вращающий момент M, а на ведомый шкив 2 действует момент сопротивления MС. Натяжение ремня обеспечивается роликом 3. Момент инерции ролика равен J, а его радиус – r. Моменты инерции и радиусы шкивов равны, соответственно,
Рис. 56
Массой ремня можно пренебречь. Определить ускорение ведущего шкива.
Ответ : = (M – 2 Mc) / (66 J) .
Задача 6.10. Передача между валами осуществляется двумя насаженными на них колесами, имеющими z1 и z2 зубцов. Моменты инерции валов с колесами соответственно равны J1 и J2. К первому валу приложен вращающий момент M, а на второй действует момент сопротивления MC. Определить угловое ускорение первого вала.
Ответ : = (M – MC z1 / z2) / (J2 (z1 / z2)2 + J1) .
Рис.
57
Ответы : w1 = 2 F / (2 m1 + m2) ,
w2 = F / (2 m1 + m2) .