V. Наиболее общий аппарат классической механики

§ 12. Уравнения Гамильтона. Принцип наименьшего действия

 Задача 12.1. Записать уравнения Гамильтона для атома водорода. Какой вид принимают эти уравнения в случае круговых орбит?

Ответы: _ = 0 ; = p_ / ( m r²) . _r = – + ; = .

Для круговых орбит последняя пара уравнений принимает вид:

= 0 и m ² r = k e² / r² .

 Задача 12.2. Найти импульс и функцию ГамильтонаH частицы, для которой функция Лагранжа имеет вид: L = – m c² .

Ответы: =m / , H = c .

 Задача 12.3. Показать, что уравнения Гамильтона можно записать в виде: = {H p_i } ; = {H q_i }.

 Задача 12.4. Вычислить время t_Б движения по брахистохроне, описываемой уравнениями x = C ( – sin ) / 2 и y = C (cos  – 1) / 2, от начала координат до точки с фиксированными значениями c и .

Ответ: t_Б =  .

 Задача 12.5 К. Шарик скатывается без начальной скорости по желобу, форма которого описывается уравнением y = y(x), от точки с координатами (0, 0) до точки с координатами (l, –h),

где l = 1м, h = (1; 0,5; 0,2) м.

Пользуясь файлом «Brahist», сравните движение шарика по желобам различной формы, а также по брахистохроне, проходящей через те же начальную и конечную точки.

Рассмотрите следующие случаи:

1. y = – h x / l ;

2. a x² + b x, где a  0,1 ;

3. y = – x h / l – a (1 – cos ( 2  n x / l) ) , где n = 1; 2; 3, а a  0,05.

Для каждого случая изобразите на одном рисунке графики брахистохроны, а также исследованных траекторий и запишите соответствующие времена движения шарика. Варьируя параметр a подберите форму «наиболее быстрого» желоба данного вида. Сравните время движения по таким желобам и по брахистохроне.

 Задача 12.6 К. Частица свободно падает с высоты, равной радиусу Земли R. Составьте дифференциальное уравнение движения частицы и определите начальные условия. Решите полученное уравнение с помощью компьютера (можно воспользоваться файлом «ПНД»). Изобразите на одном рисунке графики полученного истинного кинематического уравнения y = y(t), а также графики воображаемых уравнений движения в виде полиномов y₁(t) = R – a₂ t² + a₃ t³ + a₄ t⁴. Параметру a₄ дайте значение 7·10^–8; а параметр a₃ варьируйте вблизи 5·10^–4.

Для функций y(t), а также для y₁(t) при различных a₃ вычислите функционал действия S. Запишите найденные значения и сделайте вывод.

 Задача 12.7. Найти изменение функции действия S для частицы, движущейся в отсутствии поля и проходящей через точки ₁ = (t₁) и ₂ = (t₂).

Ответ: S = (m /2) (₂ – ₁)² / (t₂ – t₁) .

 Задача 12.8. Составить уравнение Гамильтона для движения математического маятника массой m и длиной l, положение которого определяется углом  отклонения от вертикали.

Ответ: = p / (ml²) ; = – m g l sin  .

 Задача 12.9. Найти фазовую траекторию одномерного гармонического осциллятора, энергия которого равна E₀, а коэффициент квазиупругой силы – k.

Ответ: Эллипс с полуосями и.

 Задача 12.10. Записать уравнения Гамильтона для частицы единичной массы, на которую действует сила = –k , гдеk – постоянная.

Ответ: dx / dt = ; dy / dt = ; dz / dt = ;

d/ dt = – k x ; d/ dt = – k y ; d/ dt = – k z .