§ 9. Пространства l2( X) и 12

Пусть Y", Y₂ - линейные нормированные пространства, оба вещественные или комплексные. Напомним, что алгебраическим изоморфизмом называется линейная биекция j : Y" « Y2. Если функция (р взаимно непрерывна (т. е. (р и j"¹ непрерывны), то j называется топологическим изоморфизмом. В терминах норм взаимная непрерывность выражается условием C || j(x) ||_Y <|| x ||y < C₂ || j(x) . Взаимно непрерывные биекции также называются гомеоморфизм. Таким образом, топологический изоморфизм есть линейный гомеоморфизм. Еще более сильным условием является линейная изометрия, т. е. алгебраический изоморфизм, сохраняющий норму "xе YI|| j(x) =|| x||y]. Другое название - изометрический изоморфизм. Это редкая ситуация.

Алгебраический изоморфизм обеспечивает одинаковые линейные алгебраические свойства. Такие пространства, как линейные пространства, имеют совершенно одинаковые алгебраические линейные свойства. Их можно рассматривать, как и делает современная алгебра, как разные экземпляры одного и того же пространства в разных обозначениях.

Топологический изоморфизм добавляет одинаковость топологических свойств, связанных с пределом, непрерывностью, замкнутостью и т. п.

Изометрический изоморфизм еще дает и одинаковость метрических свойств - метрике, норме.

Следует иметь в виду, что все эти изоморфизмы дают одинаковость только по «своим» направлениям. Другие соотношения, сюда не входящие, могут очень сильно отличаться.

Установим, что L²(X) и 1₂ линейно изометричны. Пусть Ф = { j_k(x)}fc=_N - полная ортонормальная система функций в L²(X). "f (x) е L²(x), вычислим ее коэффициенты Фурье по системе Ф : с_к = [L]\ f(x)j(x)dx. В силу формулы замкнутости

X

£ Ck² =|| f(x)||² <+¥ .

k=1

Поставим в соответствие функции f (x) е L²( X) последовательность с = (c_k)_feN е 1₂.

1. Указанное отображение y : L²(X) ® 1₂ есть биекция. Действительно, "f (x) е L²( X), можно вычислить ее коэффициенты Фурье по Ф и получить последовательность

с = (c_k)_kеN. В силу формулы замкнутости, £ c_k² <+¥, т. е.

k=1

с е 1₂. Обратно в силу теоремы Рисса-Фишера "с е 1₂ есть последовательность коэффициентов Фурье для некоторой

функции f(x) е L²( X). В силу полноты Ф разным функциям из L²(X) отвечают разные последовательности c = (c_k)_kеN е 1₂.

2. Отображение y сохраняет скалярное произведение: [L] Г f(x)g(x)dx = Z a_kb_k = ab в силу обобщенной формулы

X k=1

■k =^{| | С 11}1₂ •

замкнутости.

³. ^Тогд^а W ^{f (x)||}L2(X) = ^^[L]{ ^{f 2(x)dx} = ^Z С

Итак, y - линейная изометрия.

Следует отметить, что этот результат хорошо иллюстрирует сказанное об изоморфизмах: одинаковость только по тем соотношениям, которые он покрывает, далее могут быть сильные различия, как и здесь - природа элементов L²( X) и 1₂ совершенно различна: суммируемые функции и последовательности.

Пространства L^p(X) попарно неизоморфны. Так же и для 1 . L^pi(X) и 1 неизоморфны при p ф 2, p₂ Ф 2, т. е. кроме А = pi = ².

Решение типовых задач к главе 4 Задача 1

Выяснить линейную зависимость системы векторов S = { t + 1, t + 2, t²} в пространстве C[0,1\. Решение

Составим линейную комбинацию данных векторов и прировняем ее к нулевому вектору пространства:

1(t +1) + X₁(t + 2) + 1₃t² =1₃t² + (l +1₂)t + (1 + 21) ° 0

"t e [0,1\.

Поскольку этот квадратный трехчлен имеет бесконечное множество корней, то он нулевой.

1₃ = 0, 1 + 1 = 0, 1 + 21 = 0, независима.

1 = 0,

1 = 0, Система векторов линейно 1 = 0

.

Задача 2

Является ли нормой в R функция j(x) =\ sin x \? Решение

Аксиома неотрицательности, очевидно, выполняется. Аксиома отделимости не выполняется: \ sin x \= 0 ^ x = Kp, K e Z. Данная функция нормой на R не является.

Задача 3

Найти скалярное произведение векторов x(t) = t, y(t) = t + 2 в пространстве C [0,1\. Векторы ортогональны? Решение

По формуле скалярного произведения в C[a, b\.

- +1 = 0. 3 3

¹ ^ ¹ 1 . 4

xy = (R)j t(t + 2) dt = (R) j (t² + 2t)dt = (^ + t²) 0 0 ³ Векторы неортогональны

.Задача 4

0, x = 0 1

пространству

x ф 0

3Tx'

Принадлежит ли функция f(x)

L[-1,8]? Если принадлежит, то найти ее норму в этом

пространстве.

Решение

Функция принимает и положительные, и отрицательные значения. Найдем ее положительную и отрицательную части

:

■i, 0 < x< 8, ^ , f- (x)

0, -1 < x < 0. Рассмотрим срезку:

[ f+ (x)]n =

1

n, 0 < x < —, ir

1

1 < x < 0,

vx

0, 0 < x < 8.

f+ ( x)

f^ < x < 8

.

0, -1 < x < 0. Она интегрируема на [-1,8]. Вычисляем интеграл:

(L) j [ f+ (x)]n dx = (L) J ndx + (L) j = 6 - -L.

n

Тогда [L] j f+ (x)dx = lim V 6 -^fj = 6.

⁸ dx ⁰ 3

2n²

Аналогично (L) J [ f_ (x)]_ndx = - J + n J dx = —

-1 -1 ^{3 x} 1 ²

3 1

n⁸ f 3 1 ^ 3

[i] f t—(x)dx = limi (- - - ¹

2 2П³) 2'

— 1 ^v '

Поскольку оба интеграла конечны, то функция суммируема и входит в L[—1,8]:

⁸ 3 9

[L]f f(x)dx = 6 — ³ = -

Поскольку || f(x) ||= [L]f | f(x)|dx, а | f(x) |= f+ (x) + f_— (x),

X

и ^ mi * 3 15

^то У ^f(x)||L[—1,8] = ⁶ + 2 = 12.

Задачи к главе 4

1. Выяснить линейную зависимость векторов

р

x(t) = sin 2t, y(t) = cos t, z(t) = sin t в пространстве C 0,­2. Является ли нормой в R функция j(x) = x | ?

3. Вычислить скалярное произведение векторов a = (i, 1 - i, 2i) и b = (-1, 2 + i,1 + i) В пространстве C³.

4. Ортогонализовать систему векторов { t, t + 1, t + 2} в пространстве C [0,1].

' 0, x = 0

3. Входит ли функция f(x) =