- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§3. Открытые множества
Определение
Множество G называется открытым, если все его точки внутренние.
Таким образом, G открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью: G = Int G. Примеры.
(a, b) открыт в R;
[a, b) не открыт в R: x = aе [a, b) - невнутренняя;
круг x + y1 < r2 открыт в R2;
множество из изолированных точек, в частности, конечное - не открыто.
Свойства открытых множеств 10. Все пространство Rn открыто.
Все его точки внутренние ◄. 20 . 0 открыто.
Нет невнутренних точек ◄.
30. Объединение произвольного (непустого) семейства открытых множеств есть открытое множество.
Пусть G0 = u ^jG.j, IФ0, Gt - открыты "iе i. Тогда
возьмем "х е G0 и покажем, что это внутренняя точка G0. x0 е G0 ^ 3i0 е I: x0 е Gi0. Поскольку Gi0 открыто, то x0 е V (x0) с Gi0 с V (x0) с Gt = G0 ^ x0 - внутренняя точка G0. В силу произвольности x0 , все точки G0 внутренние и оно открыто ◄.
o
40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
o
V/е Ш (x0, r) покажем, что y - внутренняя точка этого шара. р( x0, y) < r. Обозначим р( x0, y) = r* < r.
Выберем r** < r- r*. Пусть zе Ш (x0, r"). Имеем:
р(x,z)<р(Л0,y) + р(y,z)< r* + r* = r* + (r-r*) = r,
следовательно,
o I \ o o
Ш(y, r")с Ш(x0, r), т. е. y - внутренняя точка Ш(x0, r)
и он является открытым множеством ◄. 50. IntX есть j Gi.
Gt с X
o
1. Vx0 е IntX ^ x0 е Ш(x0, r) с U Gt, ибо этот шар есть
Gi с X
открытое множество, содержащееся в X. Значит, IntX с j G,.
Gt с X
Vx0 е j G , ^ x0 е G,0 с X ^ x0 - внутренняя точка Gi0,
G, с X
т. к. Gi0 как открытое множество состоит только из внутренних
o
точек ^ x0 е Ш (x0, r) с G с X ^ x0 - внутренняя точка X ^ x0 е IntX и j G с IntX.
Gt с X
Тогда IntX = j Gi
G, с X
60. IntX есть открытое множество.
Вытекает из 50 и 30 ◄.
70. IntX есть max открытое множество, содержащееся в
X.
IntX = j G,, а это объединение включает все Gt с X ◄.
Gt с X
80 . Пересечение конечного семейства открытых множеств открыто.n
► Пусть G0 = п G, Gt - открыты, i = 1 ■ n. "0 e G0 ^
i=1
o
^ AO e Gt "i = 1 ■ n. Тогда л e Ш (л0, r )с G , i = 1 ■ n.
o
Положим r0 = min {rj, r2,..., rn}, r > 0. Получаем Ш (ло, r0 )с Gt
n
"i = 1 ■ n ^ ло e п Gt = G0. Все точки G0 внутренние, и оно
i=1
открыто ◄. Замечание
Пересечение бесконечного, в частности, счетного семейства открытых множеств, может не быть открытым.
Пример
^ f 1 1 ^ R, u i ,— i ={0} не открыто.
m=1 ^ mm)
Тем не менее, пересечение счетного семейства открытых множеств есть множество, важное в современном анализе, оно имеет свое название и обозначение. Определение
Множество, являющееся пересечением счетного множества открытых множеств, называется множеством типа G5 .
В частности, взяв X = п Gt, Gt = G"i e N, получаем, что
i=1
открытые множества тоже имеют тип G5 .
Перейдем ко второму важному классу множеств.
§4. Замкнутые множества
Определение
Множество F называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения: F с F.
Поскольку всегда F з F, то F замкнуто ^ F = F.
Примеры
[ a, b ] замкнут в R;
[ a, b) не замкнут в R: x0 = b - точка прикосновения, не
входящая во множество;
множество, состоящее только из изолированных точек, в частности, конечное множество, замкнуто.
Свойства замкнутых множеств, замыканий и предельных множеств.
10 . F замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение с F = G = Rn \ F открыто.
► 1) Пусть F замкнуто. Рассмотрим возможные случаи.