- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 6. Мера замкнутых множеств
Пусть множество F Ф0 замкнуто и ограничено, [a0, b0 ] - наименьший сегмент, содержащий F . Обозначим G = [a0; b0 ] \ F. Тогда G открыто и ограничено.
116
Определение
Мерой множества F называется число mF = (b0 - a0) - mG. Примеры
F = [ a, b], a0 = a, b0 = b, G = 0. m =[ a; b] = b - a - 0 = b - a;
F = u [ at; Ц ], i * J ^ [a,; bt ] п [a.; b. ] = 0;
Пусть a1 < a2 < ... < an. Тогда ak+1 > bk. Следовательно, наименьший сегмент, содержащий F, будет [a1; bn ].
G = (A,a2)u(b2,a3)u...u(bn-1, an).
n-1 n n
mF=bn- a1- Z (ak+1- bk )=Z (bk- ak )=Z m [ ^b].
k=1 k=1 k=1
F = F0 - канторово совершенное множество. F0 =[0;1]\G0. mF0 =(1 -0)-mG0 = 1 -1 = 0.
Интересно сопоставить этот результат с тем, что F0 = c. Свойства меры ограниченных замкнутых множеств: 1°. mF > 0.
Поскольку G е (a0, b0), то mG < b0 - a0. Тогда mF = (b0 - a0)-mG> 0 ◄.
2°. Если F е (a,b), G* = (a,b) \ F, то mF = m(a;b)-mG*.
Действительно, G* = (a,b) п% F - открыто ^ имеет меру.
Как всегда, [a0; b0 ] означает наименьший сегмент, содержащий F. Тогда (a;b) \ F = ((a;b) \ [a0; b0])u G, G = [a0, b0] | F, т. е. С* = ((a;b) \ [a0; b0]) u G. Эти два множества
открыты и не пересекаются. По свойству аддитивности меры mG* = m((a;b)\F0) + mG, где F0 =[a0,b0]. Проиллюстрируем наглядно эту ситуацию.
Н Е } )
я Ь0 *
Очевидно, (a;b) \ F0 = (a, a0) u (b0,b).
Значит, m((a,b) I F0) = (a0-a) + (b-b0) = (b-a)-(b0 -a0). Тогда
mG* = (b-a)-(b0 -a0) + mG = (fi-a)-((b0 -a0)-mG) = = (fi-a) = mG*, и поскольку mF = (fi-a)-mG* ◄.
3°. F e F2 ^ mF, < mF2.
Пусть (a;b)^ F2. Тогда (a;b) \ F 3(a;b) \ F2. Эти множества открыты, первое имеет меру не меньше, чем второе, и остается применить 2° ◄.
4°. F e G ^ mF < mG.
Пусть (a;b) 3 G. (a; b) = Gu ((a; b) \ F). Тогда m (a;b)< mG+m ((a;b) \ F) и 2° ◄.
5°. mG = sup mF.
F eG
По 4° mG есть верхняя грань {mF} . Остается показать,
что "e> 0$F e G: mF > mG-e.
i0 i0
Известно, что mG = £ m (ai; bi), (a2.; bt) - составляющие
i
интервалы множества G .
n e Выберем n e N: Z m (at; bt )> mG . Для i = 1,2,..., n возьмем
i=1 2
e
[g;d]c( a, bi) так, чтобы т[у.Д.]> m(a2.; bt)- —. Это
2n
возможно.
n
Положим F = U [g;d], оно замкнуто. Также F. с G.
i=1
Вычислим mF :
mF = Z n=1 (di - g) >Z n=1m (a; bi)- n e> mG - e.
Ввиду произвольности e > 0, mG = sup mFt ◄.
F cG
6°. mF = inf mG..
G dF
Возьмем (a;b) d F, G* = (a; b) \ F - открыто. По 5° "e > 0 , найдем Fe с G*: mFe > mG* - e . Обозначим G0 = (a;b) \ Fe. G0 - открыто, G0 d F.
mG0 = m(a;b)-mFe < m(a;b)-m((a;b)\ F) + e = mF +e ◄.
7°. F = Un= F, i* j^ Fп F. =0 . Тогда mF = ^mFi.
i=1
Достаточно рассмотреть F = F, uF2, F, пF2 = 0. "e >0,
ee
возьмем G,, G такие, что mG < mF + —, mG < mF + — .
1 2 1 1 2 2 2 2
Обозначим C = G1u G2. G d F.
mF < mG < mG1 + mG2 < mF1 + mF2 + e .Ввиду произвольности e > 0, mF < mF, + mF2.
Поскольку F1, F2 замкнуты и F1 п F2 =0, то существуют
G
и G открытые, такие, что G d f1, G d f2, G п G =0 .
Найдем G0 з F: mG0 с mF +e. Тогда G0 п G** открыты, ограничены и содержат F1, F2. Соответственно они не пересекаются. С этого следует, что mF1 + mF2 < m (G0 п G*) +
+m(G0 п G") = m((G0 п (?)u(G0 п G**)).
Поскольку (G0 п G*) u (G0 п G**) с G, то
mF1+ mF2 < mG< mF +e . В силу произвольности e> 0, mFl + mF2 < mG < mF. Окончательно, mF = mF1 + mF2 ◄.