- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
Глава 3. Интеграл
§ 1. Интеграл Римана
Это тот определенный интеграл, который изучался в курсе математического анализа. Он введен О. Коши и обобщен Б. Риманом.
Пусть на отрезке [ a; b] задана функция f (x) . Сделаем (T)- разбиение [ a; b]: a = x < x1 < ... < xk < xk+1 < ... < xn-1 < xn = b.
Обозначим Dxk = xk+1 - xk. Выберем ck e [ xk, xk+1 ]. Составим интегральную сумму Римана для f(x) на отрезке [ a; b ] по
n-1
данному (T) - разбиению: SR(T) = ^ f(ck)Dxk .
k=0
Обозначим
l(T)
=
max
Dxk
(параметр
разбиения).
k=0+(n-1)
Если 3 lim SR(T) = IR, т. е. "e> 03d > 0 : l(T) < d ^
1(T)®0 7 R v 7
^
| SR(T)
-
IR|
<
e,
то число
IR
называется
интегралом Римана
b
для f(x) на отрезке [ a; b]. Запись: Ir = (R)\ f(x)dx.
a
Множество функций, интегрируемых по Риману на [ a; b ], обозначается Ri [ a; b].
Каковы условия интегрируемости по Риману? Необходимым условием является ограниченность f(x) на отрезке [ a; b]. Это практически очевидно. Если f(x) не ограничена на отрезке [ a; b] , то она не ограничена хотя бы на одном частичном сегменте [ xk; xk+1 ]. Зафиксировав ct при i Ф k за счет выбора ck, можно сделать | SR(T) | сколь угодно большим.
Это условие недостаточно. Функция Дирихле Di( x) ограничена на любом отрезке [ a; b]. Выбираем все ck е Q, имеем
n-1
^ (71) = £1 -Axk = b - a .
к=0
_ n-1
Выбираем все ckе Q, получаем SR(72) = £0 • Axk = 0 .
к =0
Значит, $ lim S(T).
l(T)®0 /
Пусть f(x) ограничена на отрезке [ a; b]. Обозначим:
mk = inf f (x), mk = sup f (x) , wk = mk - mk. Вводятся
[ xk; xk+1 ] [ xk; xk+1]
интегральные суммы Дарбу, верхняя и нижняя:
_ n-1 n-1 _
S(T) = £ mkAxk , S(T) = £ mkAxk . Всегда S(T) < S(T) < S(T) .
k=0 к=0
При l(T) ® 0, S(T) ® I, S(T) ® I - нижний и верхний
интегралы Дарбу. Всегда S(T) < I < I < S(T). Равенство I = I есть необходимое и достаточное условие интегрируемости
n-1
f(x) . Его можно также записать в виде lim £ wtAxt = 0.
V / ^ l(T)®0 k k
Кроме этих двух, известных из классического анализа, укажем еще 2 критерия интегрируемости функции по Риману. Первый из них связан с мерой Жордана.
Теорема 1 (Дюбуа-Реймон)
Ограниченная на [ a; b] функция f(x) интегрируема на
[ a; b ] по Риману тогда и только тогда, когда "d > 0 множество A = {xе [a, b]: w( f, x) > d} измеримо по Жордану и mesA = 0.
Доказательство
1. Необходимость
Пусть f (x) е Ri[ a; b]. Допустим противное:
380 > 0 : mes*A8o = g> 0. Тогда для отрезков ранга n, Ln > g.
n—1
Рассмотрим £wkAxk. Отрезки (T)-разбиения есть 2 видов.
k=0
[ xk, xk+1] n \ =0 .
[x,, x,+1] n \ Ф0.
Тогда вторая часть суммы £ 4сокAxk > 80g ^
n—1
^ lim £wkAxk > 80g> 0 ^ f (x) е Ri[a, b]. Противоречие.
1(T )®0 k=0
2. Достаточность
Пусть
"8
>
0
mes*
A8
=
0. Покажем, что при выполнении этого
условия интеграл существует. Пусть
8
и
g-
произвольные
положительные сколь угодно малые числа
и
W
-
некоторая система интегралов, покрывающая
множество A8,
сумма
длин которых меньше
g.
По
условию такая система интегралов
существует.
A8
замкнуто,
выберем из
W
конечное
подпокрытие K.
Сумма длин интервалов семейства К тем
более меньше
g.
Построим
также (T)
-разбиение
[ a;
b
],
чтобы точками деления были все концы
интегралов из
K
и
чтобы часть [ a;
b
],
оставшаяся вне покрытия
K
(она
замкнута и
f
(x)
на
ней непрерывна), была разбита новыми
точками деления так, чтобы на [хк,
xk+1]
включающем
x,
x+1,
ко 2-й части - все остальные.
£ WAx < 8(b — a), £ WAx < w( f)g.
n-1
Имеем:
Т
wiAxi
<
d(b
-
a)
+
w(
f)g,
и
может быть сделана сколь
i=0
n-1
угодно малой, тогда ^lim ^ wAx; = 0 и интеграл Римана
существует. Теорема доказана.
Второй результат связан с мерой Лебега и представляет собой самый удобный критерий интегрируемости по Риману.
Теорема 2 (А. Лебег)
Ограниченная на [ a; b] функция f(x) интегрируема по
Риману тогда и только тогда, когда она на [ a; b] непрерывна
почти всюду.
Доказательство