- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 3. Мера Жордана
Проблема построения теории меры важна и сама по себе, и в теоретическом, и в практическом плане. Но особенно она важна в теории интеграла. Необходимость обобщения интеграла Римана и заставила математиков заниматься теорией меры (хотя не только это). Французский математик Камиль Эдмон Мари Жордан, Jordan (1838-1922) разработал теорию меры множеств, обобщающую геометрические понятия. Изложим основные положения этой теории в обзорном порядке. Пусть X с R, X ^0, X -ограничено.
Тогда 3a, bе R: X a, b]. Выберем a, bе Z, это всегда возможно. Пусть b - a = k е N. Разобьем [a, b] на k равных
частей. Это сегменты ранга 1. Относительно множества X они есть двух типов.
Заполненные сегменты. Состоят исключительно из точек из X . Обозначим сумму их длин через l1 .
Включающие сегменты. Имеют хотя бы одну точку из X . Их сумму длин обозначим L1 .
Очевидно, l1 < Ц. Разделим каждый сегмент ранга 1 на S равных частей. Например, S = 10. Определим заполненные и включающие сегменты ранга 2. Вычислим l2 и L2 . Продолжим процесс. Получим две последовательности неотрицательных чисел: (ln )eN, (Ln )neN . Они имеют названия: нижняя и верхняя последовательности Жордана для X. Очевидно, они монотонны: (ln)neN неубывающая, (Ln)eN невозрастающая.
(ln )eN ограничена сверху, например, числом b- a; (Ln )neN
ограничена снизу, например, нулем. Тогда З lim ln = l0 е R, З lim Ln = L0 е R. l0 называется внутренней или
нижней мерой Жордана множества X и обозначается mes* X;
L0 - внешняя или верхняя мера, mes*X. Итак, поскольку l < L Vn е ^, то mes* X = mes* X.
n n ' *
Если mes* X < mes* X , то X называется измеримым по Жордану, а общие значения его внутренней и внешней мер называются мерой Жордана множества X . Запись: mesX .
Примеры
1. X = [0,54;3,75)u{5,22} .
0,54 3.75 5,22
0 1 2 3 4 5 й
Здесь [а, б] = [0,6], k = 6. Сегменты 1-го ранга заполненные: [1,2] и [2,3], lj = 1 +1 = 2. Включающие сегменты 1-го ранга: [0,1], [1,2], [ 2,3], [3,4], [5,6], L = 5. Примем 5 = 10.
Определяем сегменты 2-го ранга (до десятых). Заполненные: [0,6;3,7] - в сумме, l2 = 3,1. Включающие (в сумме):
[0,5;3,75] u [5,2;5,3] L = 3,25 + 0,1 = 3,26.
Переходим к сегментам ранга 3. Заполненные: [0,540; 3,749], l3 = 3,209 . Включающие:
[0,540;3,750] u [5,220;5,221], L = 3,21 + 0,001 = 3,211.
Продолжим процесс. Сегменты ранга n: |^0,54; 3,75 -10-
заполненные, ln = 3,21 - 10-n;
[0,54; 3,750] u [5,22 -10-n; 5,22 +10-n ] - включающие, Ln = 3,21 + 2x10-n. mes* X = lim (3,21 - 10-n ) = 3,21,
mes* X = lim (3,21 + 2 x10-n ) = 3,21. Итак, X измеримо по Жордану, mesX = 3, 21
.
2. Канторово множество f0.
Сегментом ранга 1 есть [0,1]. Заполненных сегментов ранга 1 нет, включающих - [0,1] l1 = 0, L = 1. Возьмем 5 = 3.
2
Ранга 2: заполненных нет, включающих - 2. А = 0, L = —.
2
2
3
9
Продолжим
для
5
= 3 .
4
Ранга
3: l3
=
0, L
=
—:
0,1
9
8,1
9
.
n-1
и
т. д.
ln
.
Тогда
mes*
F0
=
0,
mes*
F0
=
0 .
F0
|
2 1 |
|
2 7 |
|
|
9, 3 |
|
3 , 9 |
|
измеримо по Жордану. mesF0 = 0.
Q01]. Поскольку любой промежуток [ a, b] сколь угодно
малый, содержит как рациональные, так и иррациональные числа, то ln = 0, Ln = 1. С этого следует, что
mes*Q01] = 0, mes* Q01] = 1 и это множество неизмеримо по
Жордану.
Аналогично для множества иррациональных чисел
1.
[0,1]
отрезка [0,1]: : mes*I^ = 0, mes*I{ I[0,1] неизмеримо по Жордану. Замечание
Обозначим An - включающие сегменты, Bn - заполненные, ранга n. Множество An \ Bn состоит из промежутков, содержащих FrX. Общая длина промежутов, составляющи
х
An \ Bn, равна Ln - ln . При n ® +¥, Ln - ln ® mes*FrX. Итак, X измеримо тогда и только тогда, когда mes* FrX = 0.
Отметим без доказательства простейшие свойства меры Жордана:
1°. Если X, Y измеримы, X с Y, то mesX < mesY. 2°. Если X, Y измеримы, то также измеримы X u Y, X п Y, X \ Y.
3°. Если X, Y измеримы, Xп Y = 0, то mes(X u Y) = mesX + mesY.