- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 3. Структура измеримых функций
Здесь мы рассмотрим приближения измеримых функций другими важными классами функций.
Теорема 1
Если f измеримая и почти всюду конечная на X, то "e > 0 $g (x) измеримая и ограниченная на X, такая, что mX(fфg)<e. Доказательство
Введем множества: Ak = X ( f| > k), k е N, B = X (| f| =+¥) . По условию теоремы mB = 0 .
Поскольку очевидно, Д з A2 з A3 з ..., B = п Ак, то
k=1
mAk ® mB = 0 при k ® ¥ . Найдем K0 : mAko < e. Определим на X функцию:
f (x);xе X\ А,
g ( x) =
0; xе Ak ,
k0
g(x) измерима и ограничена: |g| < k0. Также X( f Ф g) = A^ . Теорема доказана.
Смысл этой теоремы в следующем. Измеримая и почти всюду конечная на X становится ограниченной, если отбросить от X множество сколь угодно малой меры.
Рассмотрим без доказательства два вспомогательных результата.
Лемма 1
Пусть множества F1, F2,..., Fn замкнуты и попарно не пересекаются. Если функция j( x) на каждом множестве Ft
n
постоянна, то на F = UF она непрерывна.
i=1
Лемма 2
Пусть F a; b] - замкнуто. Функцию j( x), непрерывную на F , можно непрерывно продолжить с сохранением max модуля на [ a; b]. Доказательство есть в [1].
Теорема 2 (Э. Борель)
Пусть на [a; b] задана измеримая и почти всюду конечная
функция f (x). Тогда "e> 0 A"d> 0 существует непрерывная на отрезке [a;b] функция g(x), такая, что mX(| f -g\ >d)<e. Если | f (x)| < K, то g(x) можно выбрать так, что |g(x)| < K.
Доказательство
Рассмотрим 2 возможных случая:
1. \f (x)|< K Vxe [a; b].
Для
заданных
e>
0
и
d>
0
найдем
m
e
N:K
<d
и
введем
m
множества:
E = X| — K< f< — K|,i = 1,2,...,m-1; | m m J
Em = X j^1 K < f < K .
m
Они измеримы, попарно не пересекаются и JE, = [a; b]. Для
i=1
£ m
построим замкнутое Fi e Et, такое, что mFi —, F = JJFi.
m
Тогда
[ a;
b] \
F
=
J
(Et
\ F),
отсюда
m
[
a;
b]
-
mF
<
e
.
Определим
i =1
на F функцию: j(x) = — K при xe Fi. По лемме 1 она
mi
непрерывна
на
F,
j(x)|
<
K,
|f
(x)-j(x)
<
d
при
xe
F.
По лемме 2 распространим на j(x) отрезке [a; b], получим непрерывную на [a; b] g(x). Причем max j(x)| = max |g(x)|, тогда max g (x) < K.
X(| f - g| >d)c[a; b] \ F, так что g(x) - требуемая.
2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
e
ограниченную h (x): mX ( f Ф h )<~. По функции h (x)
e
построим
непрерывную
y(x):
mX(h-y)>
—.
Поскольку
X(| f> d) с X( f Ф h) j X(|h-y| >s), то y(x) требуемая. Теорема доказана.
Отсюда мы получим 2 интересных результата о сходимостях функциональных последовательностей.
Теорема 3
Для каждой измеримой и почти всюду конечной на отрезке [a; b] функции f (x) существует (yn непрерывных, таких,
что
yn
^
f.
Доказательство
Возьмем
две последовательности: d1
>d2
>d3
>,...,dn
®
0,
e >e2 >e3 >,...,en ® 0.
Vnе
N построим непрерывную
yn
(x),
что mX(|
f-yn|
>dn)<em.
Тогда X
yn
^
f,
т. к.
Vd
>
0 при достаточно больших n
будет
dn
<
d,
значит, X
(|
f-Vn\>d)c
X (
f-y>dn).
Теорема
доказана.
Применив к (yn )ngN теорему Ф. Рисса о последовательности, получаем второй результат о сходимостях.
Теорема 4 (М. Фреше)
Для каждой измеримой и почти всюду конечной на отрезке
[a; b] функции f (x) $(jn ) непрерывных, (jn) > f почти
всюду.
Наконец, установим результат о приближении f (x) непрерывными функциями.
Теорема 5 (Н. Н. Лузин)
Если f (x) измерима и почти повсюду конечна на отрезке
[a; b], то "d > 0 существует такая непрерывная j(x) на отрезке [a; b], что mX( f Фj)<d. Если при этом |f (x)| < K, то и j(x)|< K.
Доказательство
По теореме М. Фреше построим (jn). По теореме
Д. Ф. Егорова найдем Xd:mXd>b-a- — и на Xs срп —► /.
Тогда (теорема анализа) f непрерывна на Xd . Найдем F с Xd
d
замкнутое: mF>mXd-—. f (x) непрерывна на F. По лемме 2
распространим f на отрезке [a; b]. Получим функцию j, непрерывную и совпадающую с f на F .
Тогда X( f ф j)c[a; b] \ F, мера множества меньше d.
|f (x)| = x2 +1, значит, X = (-1;1], j( x) требуемая.
Если |f (x) < K, то это [a; b] будет и на F, а тогда по
лемме 2, j(x)| < K. Теорема доказана.
Смысл такой: измеримая и почти всюду конечная на отрезке [a; b] функция становится непрерывной, если от отрезка
[a; b] отбросить множество сколь угодно малой меры.
Можно далее рассматривать аппроксимацию (приближение) измеримых функций более специальными классами непрерывных функций, в частности алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Об этом можно прочитать в [1]
.
Решение типовых задач к главе 2 Задача 1
Проверим измеримость функции f (x) = 5x + 3 на множестве X = (1,3].
Решение
X измеримо. Рассмотрим множества X ( f > a), a е R,
a — 3 (a — 3 ^
5x + 3 > a, x >—-— . Рассмотрим множество I—-—, +« Iп (1,3],
для чего переберем соответствующие значения для a .
1) a—3 < 1. Тогда X( f > a) = 3, п (1,3] = (1,3] -
измеримо;
a — 3 a — 3 „ w „ ч (a — 3 Л
a)
5 |
|
a— |
3 |
5 |
|
a— |
3 |
5
Итак, X ( f > a) измеримо "a е R и f измерима на X.
Задача 2
Доказать, что если f3 (x) измерима на X, то f (x)
измерима на X . Решение
X по условию измеримо.
X ( f > a ) = X ( f3 > a3) . Поскольку второе множество измеримо "a е R, то и первое измеримо "a е R. Следовательно, f (x) измерима на X
.
Задача 3
Измерима ли функция Дирихле на [с; b] ? Решение
X = [с; b] измеримо, X( f > a) представляет собой также множества для различных значений a e R:
a < 0, X( f > 0) = [c; b] - измеримо;
0 < a < 1, X( f > a) = Qc b] - измеримо;
a > 1, X( f > a) = 0 - измеримо. Следовательно, функция Дирихле измерима на [с; b].
Задачи к главе 2
Проверить измеримость функции f (x) = x2 +1 на множестве X = (-1;1] .
Доказать, что если f (x) измерима на X, то f2 (x) измерима на X . Верно ли обратное?
Доказать, что если f (x) измерима на X, то |f (x)|
измерима на X . Верно ли обратное?
Доказать, что функция ограниченной вариации измерима на [a; b].