- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
При p = 2 получаем неравенство Коши в L2( x). Доказанные неравенства дают возможность ввести норму в
Lp (x).
Теорема 7
I
Функционал j( f(x)) = ([L\|\ f(x) \ dx)p есть норма в
x
Lp (x).
Доказательство
Неотрицательность. \ f(x) \> 0 ^ j( f) > 0, "f e Lp(x) .
Отделимость. Если f(x) ~ 0, то \ f(x) \~ 0 , \ f(x) \p~ 0 и j( f) = 0. Если j( f) = 0, то \ f(x) \p ~ 0 ^ f(x) ~ 0 .
Абсолютная однородность.
1 1 P I p ( Г л p Ip
j(1f) = ([L]{\1 + (x)fdx 1 = \[L\\\1\P \ f(x)\p dx
x у v X
1
(\1\p)iI [L]{\ f(x) \p dx 1p =\1\j(f).
'V|[ l
X
4. Субаддитивность.
j( f + g) < j( f) + j(g) и есть неравенство Минковского. Теорема доказана.
Итак, \\ f(x)\\= ([L]J\ f(x)\pdx)p.
X
Аналогично L2(X), можно доказать, что Lp(X) банахово. Сходимость по этой норме называется сходимостью в среднем порядка p. Запись: fn(x) ——® f0(x) . Эта норма не эвклидова.
Непрерывный линейный функционал в Lp (X), при p > 1 имеем вид
l( f (x)) = [ L]J f( x) g( x),
X
fn
(x)
——
f0(x)
n®m[L]j
fn(x)g(x)dx
[
L]J
f
(x)
g( x)dx, g( x)
e
Lq
(x).
X
f (x) g ( x)dx g (x). L (
X
Сопряженным пространством к Lp(X), p > 1 является Lq (x),- + - = 1.
p q
Таким образом, имеем целую шкалу пространств, суммируемых функций: Lp(X),1 < p < +¥.
В этой шкале особое место занимают I,( X) = L( X) и L2( X). Для p = 1, q = +¥, для p = 2, q = 2. Пространство L2( X) самосопряженное: (L2(X))' = I2(X). Для I1(X) сопряженного среди Ip(X) нет, (I1(X))' = I¥ (X) - пространство измеримых ограниченных функций. Интересно, что аналогичная шкала существует среди пространств последовательностей.
§ 8. Пространства последовательностей 1 p
Пусть p е R, p > 1. Обозначим через lp множество последовательностей. l p представляет собой вещественное
линейное пространство относительно обычных действий сложения последовательностей и их умножения на числа.
l p также является эвклидовым пространством: если
a = (an), п е N, b = (bn), п е N, то ab = £ akbk является
k=1
положительно определенным скалярным умножением.
a ± b ^ £ akbk = 0. Рассматриваются все условия, связанные с
k=1
ортогональностью.
Норма в lp вводится по формуле || x ||= (£| хк |p)p.
k=1
Пространства l p - банаховы.
Из них гильбертовым есть только 12 - его норма эвклидова. Общий вид непрерывно линейного функционала в
пространствах 1р, при p > 1, будет 1(a) = £ akbk, где
k=1
b = (bn)n=N е L, здесь q - сопряженный показатель для p. Сопряженным к lp есть lq.
Общий вид линейного непрерывного функционала в l1:
1(a) = Z akbk , b = (bn)neN - ограниченная последовательность.
k=1
Сопряженным с 11 является пространство m ограниченного последовательностей.
Пространство 12, как и L2(X), самосопряженное.
Имеем две шкалы банаховых пространств, Lp(X) и 1 . В
них L2(X) и 12 - особые, они гильбертовы.
Оказывается, эти пространства очень тесно связаны между собой.