- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
Если функция f0(x) есть простой поточечный предел последовательности (fn(x))neN измеримых на X функций, то f0( x) измерима на X.
Доказательство
Введем обозначения:
^^) = X { k > а + -11, B* = f) A
' mJ k=n
Эти множества измеримы в силу измеримости fn (x). Покажем, что X( f0 > а) = J JB? .
nm
Пусть X) е X( f0 > а) , тогда
f0(x0) > а ^ $mе N: f0(x0) > а + — .
0 0 0 0 m
В силу сходимости
fk(x) ® f0(х)$Пз:k > n0 ^ fn(x0) > а + —.
m
Итак, при k > П0 ^ x0 е A1) ^ x0 е ВП) ^ x е JJBf.
n m
Это означает, что
x (f > а) с jjmn>.
nm
Обратно, пусть x0 е JjB;m) ^ x0 е B,n) при некоторых m и
nm
n. Таким образом, xе A(Jk) при k > n, тогда будет
fk(x0) > а + — . Перейдем к пределу при k f0(x^) > а + —.
k 0 m 0 0 m
В силу произвольности m е N, f,(x0) > а и x е X( f > а).
Значит, JJBmn) с X( f0 > а) . В итоге указанные множества
nm
равны и f0 измерима на X . Теорема доказана.
Теорема 2
Если fn(x) измеримы на X и fn(x) > f0(x) почти всюду
на X, то f0(x) измерима на X.
Доказательство
Обозначим A = { x0 е X: fn (л^) ® f0 (x0)}.
По условию mA = 0 ^ f0(x) измерима на A. На X\ A f0 измерима по теореме 2. Тогда она измерима на Au (X \ A) = X. Теорема доказана.
Теорема 3 (А. Лебег)
Пусть ( fn )neN измерима на X, fn ® f0 почти всюду на X и
f0 почти всюду конечна на X. Тогда "d > 0 lim mX(I fn - f0| >d) = 0.
n®¥ 1 1
Доказательство
В силу теоремы 2 f0 измерима на X. Тогда множества
X(| fn - f0| > d) измеримы. Введем обозначение: A = X(| f| = +¥), An = X(| fn| = +¥),
B = X ( fn ® f0). D = A u {UUAn j u B. Ясно, что mD = 0 . Еще обозначения: Xk (d) = X (| fk - f0\>d), Xn(d) = UXk (d), U = № (d).
k=n n=1
Все они измеримы.
Поскольку 11(d) з Y2 (d)3 ... з Yn (d)3 ..., то mY(d)® mU.
Также U с D. Действительно, если x0 £ D, то
lim f, (Л0) = f0(x0) и при этом f(x0), f0(x0) - конечные
k
вещественные
числа. Тогда
3n0
:
k
>
n0
^
|
fk(x0)
-
f0(x0)|
<
d,
т.е. x
£
Xk
(d),
а значит, x0
£
in
(d)
^
x0
£U,
получаем
cU з cD ^ U e D. Но тогда mU = 0 и lim m(Y(d)) = 0, а раз
Xn (d) e Yn (d), то lim m(Yn (d)) = 0.
Теорема доказана.
Венгерский математик Ф. Рисс взял результат А. Лебега как определение нового вида сходимости функциональной последовательности. Определение
Пусть функции последовательности (fn)eN измеримы и почти всюду конечны на множестве X. Говорят, что последовательность сходится на X по мере к функции f0 , если
lim mX (I f - f0| >d) = 0, "d> 0.
Запись: fn (x) ^ f0 (x) (символ Г. М. Фихтенгольца). Таким образом, теорему А. Лебега можно сформулировать так:
Теорема 3* (А. Лебег)
Сходимость почти всюду влечет сходимость по мере.
Итак, мы уже имеем 4 вида сходимости функциональных последовательностей: равномерная ^ простая поточечная ^ ^ почти всюду ^ по мере.
Как известно, первые две импликации необратимы. Необратима и третья.
Пример
4
(x
)
=
\
Все построенные функции дают счетное множество. Расположим их в последовательность:
g1 ( x) = f11 ( x) , g2 ( x) = f12 ( x) , g3 ( x) = f22 ( x) ,
gn
(
x)
^
0,
т. к. X
(|
gn\
>d):
i -1 i I
; — I и его мере ® 0 при
k k)
II ® ¥ .
"x0
е
[0;1)"k
е
N$iе
N:
x0
е
1 1;— |, тогда f—k (x ) =1.
kk
При "n е N можно найти n > n0:jn, (x,) = 1 и jn (x) ® 0 .
Таким образом, мы получаем цепочку 4 расширяющихся видов сходимости (как принято говорить, все более слабых: чем сильнее сходимость, тем меньше в ней последовательностей).
Характерной особенностью сходимости по мере является возможность замены предельной функции.
Теорема 4
fn ^ g , g ~ h ^ fn ^ h .
Доказательство
"d > 0 будет:
X(| fn - h\ >d)e X(g ф h) u X(| fn - g| >d).
Первое множество в первой части имеет меру нуль, поэтому
mX (| fn - h| >d)< mX (| fn - g| >d) ^ fn ^ h.
Теорема доказана.
Это означает, что сходимость по мере характеризуется некоторой неоднозначностью результата. Но эта неоднозначность в вопросах меры несущественна и эквивалентные функции вообще отождествляют. Это дает много удобств и теоретического и практического характера. Особенно ярко это проявится в теории интеграла.
Теорема 5
fn ^ gЛ fn ^ h ^ g ~ h .
Доказательство
"d > 0 будет:
X(|g- h > d) e X|J fn - g > |j и X| fn - h > dj (легко
проверить по дополнениям множеств).
При n ® ¥ мера правого множества ® 0. Тогда mX(|g- h\ > d) = 0. В силу произвольности d> 0 mX(g Ф h) = 0 и g ~ h .
Теорема доказана.
Вернемся к 4 видам сходимости. Хотя импликации там необратимы, все же «обратная связь» существует.
Теорема 6 (Ф. Рисс)
Если f ^ f0, то 31 f ) : f > f0 почти всюду.
n 0 \ nk ! keN nk 0
Доказательство
Возьмем строго убывающую и сходящуюся к нулю (dn )eN
положительных чисел.
Возьмем также сходящийся знакоположительный числовой
ряд: Zak <+¥ . Строим последовательность (nk)keN. к=1
n
-
такое натуральное, что
mX
(
fn
-
f0
>
s1)
<
a1.
n2 mX (| fn2 - f0| > S2 ) < a2 и n > n1 , и т. д.
Покажем, что fn ® f0 почти всюду на X .
Обозначим A = u X ( fn - f0 > dk), B = п A
k=i ^ k ' i=1
Дз
A
3
A
3
.. ^
mA
®
mB.
Поскольку
mAt
<
Z,ak,
то
k=i
mA
®
0
^
mB
=
0 . Пусть x0
е
X
\
В
^
x0
й
Д , т. е. при
k
>
i0
будетx0
й
X
(
>ak)
^
f
-
f
V
0
f
-
f
V
0
<^k,
k
>
i0;
т. к. a ® 0, то
fnt (x0)® f0 (x) "x е X \ В. Теорема доказана.
«Обратную связь» сходимости по мере с равномерной сходимостью дает:
Теорема 7 (Д. Ф. Егоров)
Пусть fn > f0 почти всюду на X, fn и f0 - измеримы и
почти
всюду конечны. Тогда
Vd
>
0
$Xd
с
X
измеримое, такое, что:
f0.
2) на Xs fn
Доказательство
Возьмем
знакоположительный сходящуюся ряд ^
at
<
+¥
и
i=1
последовательность
(Дп
)
N,
сходящийся к нулю, строго убывающую и
bn
>
0 .
При доказательстве теоремы Лебега было получено, что
mYn (Д) ® 0, Yn = j Xk (| fk - f01 > Д) Viе N можно взять
k=n
ц е N: mYni (bi )<a.
Далее
найдем
i0:
^
ai
<
d
.
Обозначим E = U Yn ^).
i=i0
Тогда
mE
<
d.
Положим
Xd
=
X
\
E.
Ясно, что mXd
>
mX
-
d.
Покажем, что на
X,
fn
—*
f().
Возьмем
произвольно
e
>
0 . Найдем
i
>
—0,
Д.
<
e
.
Установим,
что при k>
nt
и
"xе
Xd
будет
|
fk(x)-
f0
(x)|<e
xе
Xd
^
xg
E.
Тогда xg
(Pt).
Значит, при
k
>
nt
x g X (| fk - f| >Д.) fk (x)-f0 (x) < Д < e, "x е Xd.
Значит, fn —- f() на Xs. Теорема доказана.