- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 2. Действия над множествами
Напомним теперь о действиях над множествами. I. Теоретико-множественное сложение - объединение
Au B::={x: xe Av xе B} . Пример: [1;5] u (-1;2)=(-1;5].
Действия над множествами можно иллюстрировать рисунками (диаграммы Эйлера-Венна).
AUB
Понятно, можно рассматривать объединение любого семейства множеств: u At.
el
п
При I = {1,2,...,п} пишут u Ai.
i=1
При I = N запись будет u A.
п=1 i
Свойства объединения:
(A и B) и C = A и (B и C) - ассоциативность;
20. A и B = Bи A - коммутативность;
30. A и A = A - самопоглощение;
40. A и 0 = A;
50. A е B ^ A и B = B;
60. A и B = 0&A = 0AB = 0 .
Теоретико-множественное умножение - пересечение
A п B:: = {x: x e A л xe B} .
Пример: [0;1] п (-1;0] = {0}.
Можно рассматривать пересечение любого семейства множеств: п A.i.
ieI
n ¥
Аналогично объединению может быть п At; п .
i=1 i=1
Свойства пересечения:
(A п B) п C = A п (B п C) - Ассоциативность;
Aп B = Bп A - Коммутативность;
Aп A = A - Самопоглощение;
Aп 0 = 0;
A е B^ Aп B = A.
Связь объединения и пересечения:
1. A п (B и C) = ( A п B) и (A п C).
(Au B) п C = ( Aп C) u (Bп C).
Au (Bп C) = ( Au B)п (Au C).
(Aп B) u C = ( Au C) п (Bu C).
Это левая и правая дистрибутивность, u и п друг относительно друга.
III. Разность множеств
A\ B::={xе A: xe B} .
Пример: [0;2] \ (-1;1) = [1;2].
а\в
Свойства разности множеств: 10. A\ B с A. 20. (A \ B) п B = 0.
30. (A \ B) u B = A u B.
40. A\B = 0о Aс B.
50. A\ B = A о Aп B = 0.
60. (A \ B) u A = A.
70. (A \ B) п A = A \ B.
80. A\ (A \ B) = A u B.
90. A\ (Bu C) = ( A \ B) п (A \ C).
100. A\ (Bп C) = ( A \ B) u (A \ C).
110. (A \ B) \ C = ( A \ C) \ (B \ C). 120. A е B ^ C \ B е C\ A. 130. (A\ B) п C = ( A п C) \ (Bп C).
140. (A и B) \ C = ( A \ C) и (B \ C). 150. A\ (B\ C) = ( A \ B) и (Aп C).
IV. Дополнение к множеству
В некоторых задачах все рассматриваемые множества есть подмножества одного и того же множества U (универсальное множество).
Тогда U\ A называется: дополнение к A, запись cA или A. cA = {xe U: xe A}.
cU = 0 .
c0 = U.
c (cA) = A.
A е B & cA з cB.
A и cA = U.
законы де Моргана.
AП cA = 0.c(Aи B) = cAп cB
c(A п B) = cA и cB
(де Морган, 1806 - 1871, Шотландия, один из основателей математической логики)
.
Есть еще так называемая симметрическая разность множеств:
A A B = {x: (xe ALxe B)v( xe ALxe B)} . Очевидно, A A B = ( A \ B) u (B \ A) = (A u B) \ (A п B).
A
A
B
Часто возникает необходимость доказывать включение множеств: X с Y или их равенство: X = Y. При этом исходят из определений: X с Y o"xе X ^ xe Y, X = Y о X с YLY с X.
Пример
Доказать первый закон де Моргана: c (A u B) = cA п cB. Доказательство будет иметь 2 этапа.
xe c (A u B) ^ xe A u B ^ xe ALx e B ^ x e cA Л x e cB ^ x e cA п B.
7 e cA п cB ^ y e cA Л y e cB ^ y e AL y e B ^ ^ y e A u B ^ y e c (A u B).
Таким образом, наши множества состоят из одних и тех же элементов, следовательно, они равны.
Далее мы перейдем к более специальным и сложным аспектам общей теории множеств.