- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
n
X = u Xi, i ф J ^ Xi п X, =0, Xi - измеримы, то X измеримо
i=1 J
n
и mesX = ^ mesXj.
i=1
5°. Если X, Y измеримы, X с Y, то mes (Y \ X) = mesY - mesX.
Построение меры Жордана в , n > 1 аналогично ^. Рассматриваются заполненные и включающие n -мерные
n
прямоугольники at, ]. Измеримые по Жордану множества
i=1
на прямой называются спрямляемыми, на плоскости - квадрируемыми, в пространстве - кубируемыми.
Этим мы и ограничимся в рассмотрении меры Жордана и перейдем к более совершенной мере - мере Лебега.
§ 4. Построение меры Лебега
Пусть имеется некоторое решение «легкой» задачи теории меры на прямой или плоскости. Если A с B, то B = A u (B\ A), Aп (B\ A) = 0 . Следовательно, должно быт
ь
m( B) = /( A) + /( B \ A). Итак, A e B ^ /( A)<m( B) - принцип монотонности.
Отсюда
следует, что
"a,
bе
({a})
=
0,
т. к. на [0,1] имеется континуум множеств,
конгруэнтных
{a}
.
Далее, по М 4*, мера конечного множества
равна нулю. Следовательно,
(a,
b)
= [ a,
b)
= [ a,
b)
= [ a,
b].
Поскольку
[0,1] = |
Гп 1 ^ |
Гл 11 |
= 1 |
то |
0,-1 = |
0- |
|
|
_ n) |
_ n _ |
n |
b
-
a
е
@
^
(a,
b) =
b
-
a.
0,11u
n
)
1,21u...
u
n
nI
n
-
2
n
-1
n-1
u
1
n
n
n
Далее
это дает? что
[ a,
b] =
b
-
a
при
По принципу монотонности [ a, b] = b - a "a, b е a < b.
Наиболее естественным решением «легкой» задачи теории меры на прямой будет такое, что /G, G - открытое непустое ограниченное множество, есть сумма мер его составляющих интервалов. Меру замкнутых множеств можно определить исходя из их структуры через их дополнения - открытые множества. Произвольные ограниченные множества можно «приближать» «изнутри» и «снаружи» замкнутыми и открытыми множествами. Такой способ построения меры и реализовал французский математик Анри Луи Лебег, Lebeque (1875-1941). Перейдем к изложению этой теории.
§ 5. Мера открытых множеств
Определение
Мерой интервала (a, b) называется число m(a, b) = b- a.
Мерой 0 называется 0.
Пусть G открыто. Если G неограничено, то принимаем mG ::=+¥. Пусть G Ф0 ограничено. Известно, что G есть н
е
более чем счетное объединение дизъюнктного семейства своих составляющих интервалов.
G = U( bi), I < ICo, i Ф j ^ (ai; b) П (a.; bj ) = 0 . Если I
конечно, то число Z m (at, bt) конечно.
i=i
Естественно, в этом случае считать мерой G это число. Хотелось бы распространить такой подход и на счетный случай. Но здесь уже имеем ряд, и надо быть уверенным, что он сходится.
Теорема 1
Если G = u (at, b), (a{, bt) - составляющие интервалы G, то
i=i
ряд Z m(ai, b ) = Z (bi - ai) сходится.
i=i i=i
Доказательство
Ряд знакоположительный, частичные суммы Sn возрастают,
G ограничено, G с (a0; b0). По свойству монотонности, Sn < b0 - a0. Sn ограничены сверху, значит, lim Sn < +¥ .
Теорема доказана.
Итак, мы можем дать следующее: Определение
Мерой непустого ограниченного открытого множества называется сумма мер его составляющих интервалов
mG=Z m (a, bi)=Z (bi- a).
ii
Пример. Канторово множество G0. Оно открыто и ограниченно.
G0 j 1,2w 1,2 i и f 7,%.., mG0 = 1+2+±+...= i.
0 I 33 Jl 99 Jl 99J 0 3 9 27Свойства меры открытых ограниченных множеств:
1°. Монотонность: G1 с G2 ^ mG1 с mG2.
Следует из того, что каждый составляющий интервал G1 входит в один и только один интервал G2 ◄.
2°. Неотрицательность: mG > 0.
Очевидно ◄.
3°. mG = inf mG..
С, dg
Из 1° ◄.
4°. Полная (счетная) аддитивность.
G = u Gi, iФ J^ G,п G. = 0. Тогда mG = £mGt.
ie I i i j ie I i
Действительно, обозначим djk) как составляющие интервалы множества Gk . Все djk) с G. Покажем, что их концы не входят в G . Допустим противное. Пусть, например, правый конец djk' входит в G . Тогда это число b e GK^ где K0 ф K.
Gk0 открыто ^ b с (a, g) С Gk0 ^ be j' ^ Gk п Gk Ф 0, что невозможно по условию ◄.
5°. Если G = u G,, I< IC0, то mG < £mGt.
ie I i 0 ie I i
Это свойство, очевидно, выполнено для дизъюнктного семейства множеств, а для недизъюнктного - по монотонности меры ◄.
Перейдем к другому «хорошему» классу ограниченных множеств - замкнутых.