- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 7. Внутренняя и внешняя меры
Пусть множество A с R ограничено. Меру мы пока ввели только для открытых и замкнутых множеств. Способ введения меры произвольного множества указывает 5° и 6° предыдущего параграфа. Это способ приближения «вписанными» и «описанными» замкнутыми и открытыми множествами, мера которых уже определена.
Определение
Внутренней, или нижней, мерой ограниченного множества A называется число m*A = sup mFt. Внешней, или верхней,
F с A
мерой называется число m A = inf mGt.
Gt з A
По результатам предыдущих исследований для ограниченных открытых и замкнутых множеств имеем:
G
* = m G = mG, m*F = m F = mF .
Свойства внутренней и внешней мер: 1°. m* A < m* A.
Пусть F е A, G з A. Тогда F е G и mF < mG . Следовательно, в силу произвольности F и G {mF: F е A] ограничено сверху числом mG. А тогда sup^AmF = m* A < mG {mF: F е A] . Множество {mG: G е A]
ограничено снизу числом m* A . А тогда inf mG = m A > m* A ◄.
2°. Если A е B, то m* A < m*B, m A < m B.
Действительно, F е A ^ F е B. Тогда {mF: F е A] е {mF: F е B] .
Значит, sup {mF] < sup {mF], т. е. m A < m B.
F е A F е B
Для внутренней меры аналогично ◄.
3°. A = u A., I< IC0, тогда m*A< Z m*A..
BI TI
► Если Z m* At = +¥, то очевидно.
i
Пусть Zi m* A, е +¥ "e > 0.
* e
Найдем G.: G. з A., mG. < m* A. +—, i = 1,2,3... 1 i i i i 2i Пусть A - интервал, содержащий множество A .
Тогда A еА п (uGj , отсюда m*A < m(A п (u g)) = = m(u(А п Gi)) < ZmGi < Zm*A, + e .
Ввиду произвольности e > 0 требуемое неравенство выполняется ◄.
4°. A = u A, I< IC0, iф j^ A п Af =0 .
ieI ' 0 i j
Тогда m* A > £ m* A,.
i
► Действительно, "e > 0, i = 1,2,..., n, выберем F: F e Д, e
mF > m* A, —. Поскольку F п Ff =0 , i Ф j, то n j
A n Л n n
m* A > m |u Fl = £ F > £ m* A-e.
V i=1 ) i=1 i=1
Ввиду произвольности e > 0, m* A > £ m* .
i
Если I = IC0, то, переходя к пределу при n ® ¥, имеем: £ ,m*a, <m*A ◄. Замечание
Это свойство не выполняется для недизъюнктного семейства множеств.
Пример
A =[0;1], Д =[0;1]. Д u Аг = A. m* A = 1, m* Д+ m* Д = 1 +1 = 2.
5°. Пусть интервал Ad А. Тогда m* А + m* (cD А) = mD, cA А = B.
► Возьмем Fe B: mF> m*B-e, e> 0 - произвольно. Обозначим G = cA F, это открытое множество, оно содержит А. Тогда m А<mG = mA-mF<mA-m*B-e. Из произвольности e, m* A + m* B < mA. Установим обратное неравенство. "e > 0 найдем G0 d A
*e
открытое, такое, что mG0 < mA + — . Пусть A = (a;b). Возьмем
e
интервал (a; b)c(a;b), такой, что a< a <a+— . Множество
F1= cDG1 замкнуто. F1= cD A, тогда m* (cDa)>> mF1 = = mA-mG1 > mD-m A-e .
Ввиду произвольности e имеем обратное неравенство, а значит, и нужное равенство ◄.
Следствие
mi (cD A)-m*( cD A) = mm A - m* A.
§ 8. Измеримость множеств
Определение
Множество A называется измеримым, если m* A - m* A. Их
общее значение называется мерой множества A и обозначается mA.
Таким образом, ограниченные открытые и закрытые множества измеримы, а их меры равны ранее введенным. Из следствия §7 вытекает, что если интервал Dd A, то множества A и cD A одновременно измеримы или нет.
Свойства измеримых множеств:
1°. A = u A, I< IC0, i * j ^ A п A. =0, A измеримы. Тогда
ieI j
A измеримо.
► Действительно,
Z mA =Z m* A < m* A < m* A < Z m* A, =Z mA ^ m* A = m* A ◄.
i i i i
n
2°. Если A, A,..., An измеримы, то A = u A измеримо.
i=1► Действительно, "e > 0, "i = 1,2,...,n возьмем
e
ограниченные F с Ai с Gi, такие, что mG1 - mFt < —. Обозначим
n
nn
F = u F, G = u Gi.
i =1 i =1
Тогда F с A с G, отсюда mF < m* A < m* A < mG. Множество G \ F открыто и ограничено, значит, измеримо. Также G = F u (G \ F), причем F п G \ F = 0 .
Тогда m (G \ F) = mG - mF. Также m (Gt \ F ) = mG2 - mFt.
nn
Поскольку G\Fс u(Gi\F), то m(G\F)<£m(G1 \F) =
i=1 i=1
= Z mG1 - mF < e.
i=1
Отсюда m* A - m* A <e^ m* A = m* A ◄.
n
3°. Если Д, Д,... An измеримы, то u Ai измеримо.
1 2 n i=1 i
Действительно, пусть A - интервал, содержащий все Д..
n
Тогда cA = u cA Д. (по законам де Моргана). cA Д. измеримы
i=1
одновременно с множествами Д., отсюда имеем измеримость cA A и значит, A ◄.
4°. Д, A2 - измеримы ^ A = Д \ Д измеримо.
Действительно, пусть интервал A содержит A1, A2 . Тогда A = д п cA A2 и 3° ◄.
5°. Если в 4° дополнительно A 3 A, то mA = mA - mA2.
Поскольку A п Д, Д = Au Д, то mД = mA + mA2 ◄.
6°. А = u At, At - измеримы, тогда А измеримо.
i=1 i i
Введем множества В = А;, B2 = А2 \ А1,...,В, = А,\ u А,,
к=1
тогда А = u Bt.
i=1 i
Все Bj измеримы и попарно не пересекаются, можно использовать 1° ◄.
7°. А = u Ai, А, - измеримы. Тогда А измеримо.
i=1 i i
Пусть A - интервал, содержащий A . Обозначим
f ¥ Л ¥ ¥
Вк = A \ Ак, тогда A = A \ A = A п u А, = п (A \ А )= п В.
^ i=1 j i=1 i=1
Поскольку cA = u cABt, то по ранее установленным свойствам
i=1
О
8°. Пусть А,ie N - измеримы, Д е А2 е ... е An. Если А = u А, ограничена, то mA = lim (mAn ).
i=1 n ®¥
► Действительно, A = A u ( A2 \ A1) u ( Aj \ A2)u ( At \ A3).... Слагаемые попарно не пересекаются. Тогда по 1 ° и 4
mA = mA + У m( A+i \ A ) = mA + (mA2 - m4 ) + (mAj - mA,) + ...
i=1
n-1
Отсюда mA = lim (mA + У (mA,+1 - mA,)) = lim (mA„ ) ◄.
n®¥ ^ n®¥
i=1
¥
9°. Пусть А,ie N измеримы, A = п A, А з А з A3 з ...
i=1
Тогда mA = lim (mAn ).
n ®¥
► Это свойство сводится к предыдущему стандартному способу введения интеграла Аз А, . Очевидно, cAA е cAA2 е cAA е ... и примем 8° ◄.