- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
Глава 3. Функции вещественных переменных
§1. Непрерывность функций
Пусть функция f задана на множестве X с Rn и принимает вещественные значения. Как всегда, V(x0;d; X) означает d - окрестность точки x0 в множестве X , т. е. множество {xе X: р(x.; x0 )<d} . (Метрика всюду эвклидова, это каждый раз отмечать не будем). Рассмотрим три подхода к понятию непрерывности функции f в точке x0.
Определение Коши (Огюстен Луи Коши, Cauchy)
Функция f называется непрерывной в точке X) по множеству X , если
lim f (x) = f (x0), т. е.
x® ЛЬ xeX
"e > 0$d(e) > 0: xе V(x0; d; X) ^| f(x) - f(x0) |< e . (С)
Определение Гайне (Э. Гайне, 1821-1881, HeineГермания).
Функция f называется непрерывной в точке x0 , если
"(xn)neN с X: xn —-— x0 ^ f (xn) ® f (Л0). (Н)
Чтобы рассмотреть еще одно определение, напомним некоторые простые понятия. Пусть f ограничена на X . Число (Ох ( f) = sup f(x) - inf f (x) называется колебанием функции на
xeX xeX
множестве X. Можно рассмотреть колебание (QVg (x0; f) на окрестности V (x0; d; X). Число w(x0; f) = inf ( (x0; f)
называется колебанием функции в точке x0. Колебание есть неотрицательное вещественное число.
Если f неограниченна в каждой окрестности точки x0, то принимаем, по определению, co(x0; f) = +¥.
Определение Бэра (Р. Бэр, 1874-1932, Ваге,Франция).
Функция f называется непрерывной в точке x0, если ее
колебание в этой точке равно нулю:
w( f,x ) = 0. (В)
Более известны первые два определения. Определение Коши используется для практического доказательства непрерывности, а определение Гайне удобно использовать для доказательства разрывности. Но все эти подходы теоретически равноценны.
Теорема
Определения непрерывности по Коши, Гайне и Бэру эквивалентны. Доказательство
(C) ^ (H). Пусть f (x) непрерывна в точке x по Коши,
(xnLn
С
X ^ n®¥
>
.
Тогда "S > 0$Пэ(S)е N: n > n0 ^ p(xn, x0) < S. Зададимся "e> 0. Из условия (C) найдем S(e) > 0 такое, что p(x, x0) < S f (x) - f (x0)|<e, а по S найдем соответствующий номер n0. Тогда при
n > n0 Н f (xn)- f (x0)\<e, т. е. f(xn) ® f(x0).
(C) ^ (B). Из условия (C) имеем: при xе V(x0;S; X) ^ f(x0)-e< f(x) < f(x0) + e. Это означает, что sup f (x) < f (x, ) + e,
inf f (x)> f(x0)-e для точки x.
Следовательно,
a)Xs
(x0;
f)
<
2e
.
В силу произвольности e
>
0,
co(x0;
f)
=
inf
a>Vs
(x0;
f)
=
0 и условие
(B)
выполнено.
(B) ^ (C). Пусть w(x0; f), т. е. "e> 0 $d> 0: ((x0); f) <e.
Значит, "xe V(x0;d; X) f (x) - f (x0)|<e и (C) выполнено.
(H) ^ (C). Допустим противное:
3e0 > 0: "d > 0 $xd e V(x; d; X) :| f (d - f (x) |> e.
Положим dn =1.
nn
П°лучим (xn)neN : xn e V(x0;1; X)L | f(xn) - f(x0) |> e0 .
n
В то же время xn ® x0. Противоречие с условием (H).
Теорема доказана. Замечание
Интересно отметить, что доказательство импликации (H) ^ (C) опирается на аксиому произвольного выбора Цермело.
Действительно, мы получим для dn =1, xn ® x0Л | f (x^ |> e0.
n n n 0 0 0
Но существование xs : р(xd; x0) < dL | f (xd) - f (x0) |> e0 не означает существования правила их построения. Достаточно показать, что предположение {xd}=0 ведет к противоречию.
Таким образом, предположение, что f (x) ненепрерывна в т. x0 означает лишь, что для некоторого e > 0 будет: "d > 0 Md={ xe V( x; d; X):| f(x,) - f(x,)|>e}*0 . Переход от M } к (xn )neN может осуществляться лишь путем произвольного выбора xn е Md .
При этом Мп+1 с Mn ^ надо рассматривать Mn \ Mn+1. Берем лишь непустые из них, обозначаем M n и из них на основании аксиомы произвольного выбора выбираем по точке xn.
Обобщением и усилением обычной непрерывности функций есть понятие абсолютной непрерывности. Рассмотрим ее применительно к функциям на отрезке. Пусть f(x) конечна на
[ a; b]. f(x) называется абсолютно непрерывной на [ a; b], если
"e > 0 3 d > 0 : для произвольной системы попарно различных
n
Z(
f
(bk)-f
(ak))
k=1
<e. (*)
k=1
При n =1 получаем обычную непрерывность. Обратное неверно. Условие (*) можно заменить более сильным:
Z|f (bk)-f (an )| < e . (**)
k=1
К абсолютно непрерывным функциям относятся функции, удовлетворяющие так называемому условию Липшица:
"а,ре [a; b] f (р)- f (a)| < L\b-a|, L = const.
Арифметические действия сохраняют абсолютную непрерывность.