- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
П 2. Разделы тфвп
Общепринятым в настоящее время является деление ТФВП на следующие направления:
Дескриптивная теория функций. Изучаются предельные переходы в множествах точек и множествах функций.
Метрическая теория функций. Множества точек и функций изучаются с точки зрения меры, являющейся обобщением геометрических понятий длины отрезка, площади фигуры, объема тела.
Конструктивная теория функций. Изучаются проблемы представления функций с помощью указанных аналитических средств.
В нашем курсе мы коснемся только 1-го и 2-го направлений. п 3. Обзор основной литературы
Мы упоминаем литературу лишь на украинском и русском языках, наиболее распространенную. Книги рассчитаны на подготовку специалистов разных профилей, и пригодность их для специальности «Прикладная математика» различна и частична. Литературу будем рассматривать по основным группам.
1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. - М. : Наука, 1974. - 480 с.
Натансон I. П. Основи теорп функцш дшсно'! змшног - К. : Радянська школа, 1950. - 424 с.
Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. - М. : Физматгиз, 1960.
Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. - М. : Наука, 1973. - 350 с.
Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1972. - 496 с.
Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. - М. : Наука, 1968. - 268 с.
2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
Давидов М. О. Додата^ роздши математичного аналiзу.
К. : Вища школа, 1971. - 440 с.
Давидов М. О. Курс математичного аналiзу. ТЗ. - К. : Вища школа, 1979. - 384 с.
Макаров И. П. Дополнительные главы математического анализа. - М. : Просвещение, 1968. - 312 с.
Лузин Н. Н. Теория функций действительной переменной.
М. : Учпедгиз, 1948.
Макаров И. П. Теория функций вещественной переменной. - М. : Просвещение, 1958. - 176 с.
Фролов Н. А. Теория функций действительной переменной. - М. : Просвещение, 1966. - 172 с.
3. Сборники задач:
Очан Ю. С. Сборник задач и теорем по теории функций вещественной переменной. - М. : Просвещение, 1965.
Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу. - М. : Просвещение, 1981. - 272 с.
Петров В. А. Элементы функционального анализа в задачах / В. А. Петров, Н. Я. Виленкин, М. И. Граев. - М. : Просвещение, 1978. - 128 с.
Теляковский С. А. Сборник задач по теории функций действительной переменной. - М. : Наука, 1980. - 112 с.
Кириллов А. А. Теоремы и задачи функционального анализа / А. А. Кириллов, А. Д. Гвиашвили. - М. : Наука, 1979. - 384 с.
п 4. Основные обозначения
Мы будем использовать стандартную логическую символику: v - или а - и
^ - следует
^ - тогда и только тогда :: = - по определению ► - начало доказательства ◄ - конец доказательства