- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 3. Интеграл Лебега
Как следует из теоремы Лебега, интеграл Римана может интегрировать «не очень разрывные» функции, почти всюду непрерывные. Необходима иная конструкция интеграла. Её и ввел Лебег.
Пусть на измеримом множестве X задана измеримая ограниченная функция f (x), причем A < f(x) < B. Сделаем
(T)- разбиение [ A; B]: A = /0 < y < ... < yn = B.
Обозначим ek = X(yk < f(x) < yk+1), к = 0,1,..., n-1.
Множества ek измеримы, попарно не пересекаются,
n—1 n—1
U ek = X, V mek = mX. Выберем y* e [yk; yk+1). Составим
k=0 k=0
n—1
интегральную сумму Лебега: SL (T) = £ y*kmek. Обозначим
к=0
1(T) = max Ay,, где Ay, = y,+1 — yk. Если 311^г®0 sl(T) = Iu то число IL называется интегралом Лебега от функции f(x) по множеству X. Запись: IL = (L)J f(x)dx. Если X = [a; b], то
x
b
пишут IL = (L)J f (x)dx. Условия существования интеграла
a
Лебега оказываются значительно менее ограниченными по сравнению с интегралом Римана.
Теорема 1
Каждая ограниченная измеримая на X функция, интегрируема по Лебегу на X. Доказательство
Введем в рассмотрение функцию g(y) = mX( f (x) < y). Покажем, что она монотонна на отрезке [ A; В]. Пусть
Уъ У2 е [ A;В] и y < У2.
Рассмотрим g(У2) - g(y!) = mX( f < y,) - mX( f < у) = = mX(y < f < y2) > 0 ^ g(y2) > g(у) и g(y) монотонна.
л-1 n—1
Рассмотрим 5i(T) = Z yk*mek = z у*mX(yk < f < yk+i) =
k=0 k=0
n-1 n-1
= Z У*(g(yk+1) - g(yk )) =Z У*Dgk. Это интегральная сумма
k=0 k=0
Стилтьеса для функции j(x) = y, непрерывной на [ A; В] по функции g( y), неубывающей ^ ФОВ на [ A; В]. При
В
l(T) = max Dyk ® 0 последняя сумма стремится к (S) j ydg ( y).
kA
Следовательно, при l(T) ® 0, SL(T) имеет предел
В
(L) j f (x)dx и он равен (S)j ydy(y).
X A
Теорема доказана. Замечание
В определении интеграла Лебега есть некоторый произвол, связанный с выбором чисел A и В. На самом деле неоднозначности здесь не происходит.
Теорема 2
Если A < A < f (x) < Д < В, то значение интеграла Лебега не зависит от выбора A, В или Д, В .
Доказательство
Функция g(y) из теоремы 1 на [ A; Д] равна нулю. На [Д; B] она постоянна и равна mX. Тогда
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2
КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3
а\в 15
( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23
2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37
Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37
склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38
3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38
. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77
х = щ, k = 1,2,...,n 101
(L) J [ f\dx = 0 ^ [ L ]J f (x)dx = 0. 196
^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 210
= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 240
[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 259
. Если f < j почти всюду на Х, то (L) J fdx < (L) J jdx.
ХХ
Действительно, Л(x) = j(x) — f (x) > 0 почти всюду на Х. (L) Jjdx — (L) J fdx = J (j— f)dx > 0. Рассмотрим еще
Х Х Х
проблему предельного перехода под знаком интеграла Лебега.
Теорема 3 (А. Лебег)
Пусть функции fn (x) ограничены и измеримы на множестве Х, fn (x) ^ f0(x), f0(x) - ограничена и измерима на Х, функции последовательности равномерно ограничены на Х(| fn (x) | < K"x е Х"п е N).
10
Тогда lim(L)J fn(x)dx = (L)J f0(x)dx.
Доказательство
Покажем, что | f0( x)| < K почти всюду на X. Из ( fn (x))nEN
можно выделить подпоследовательность f (x) по теореме
Рисса, сходящуюся к f0(x), почти всюду на X. Переходя к
пределу в | f (x) |< K при K ® ¥, получаем | f0(x) | < K. Пусть
d> 0.
Обозначим:
An (d) = X (| fn - f0\> d), Bn (d) = X (| fn - fel < d).
Тогда (L)J fndx - J f,dx < (L)J fn - f, \dx = (L) J | fn - f(> \dx+
XX X An (d)
+1 f0 |, то почти
+(L) J | fn - f0 | dx. Поскольку | fn - f0 |<| fn | +1 /0 |
Bn (d)
всюду на An (d) будет | fn - f> |< 2K. Тогда по 10 (L) J \fn - f0 |dx < 2KmAn(d).
An (d)
Аналогично
J
|
fn
-
f0
|
dx
<
dmBn
(d)
<
dmX.
Bn (d)
Имеем: | (L)J fndx- (L)J f0dx | < 2KmAn(d) + dmX "e > 0
e
найдем
d
>
0 :
dmX
<
—. Тогда mAn
(d)
®
0
и при достаточно
e
больших n, 2K • mAn(d) < —.
Получаем: |(L)J fndx- (L)J f0dx | < e, что и доказывает
XX
предельный переход. Теорема доказана.
Замечание 1
Теорема остается верной и в случае, когда неравенство | fn (x) |< K выполняется почти всюду на X.
Замечание 2
Поскольку сходимость по мере шире, чем сходимость почти всюду, тем более простой поточечной, тем более равномерной, то и в этих случаях предельный переход под знаком интеграла Лебега является законным.