- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
степенью
Пусть p е R, p > 1, Lp (x) означает множество всех функций, для которых [L]J| f(x)|p dx <+¥. При p = 1 имеем, что
X
L1(X) = L(X) . В эту шкалу входит и L2(X). Сразу же возникает вопрос, суммируемы ли на X функции Lp (X) при p > 1?
Теорема 1
При p > 1, Lp (X) с L( X) . Доказательство
Обозначим A = X(| f | < 1, B = X \ A). Суммируемость f (x)
на A следует из того, что при | f \ < 1, p > 1 будет | f (x)|p < 1. Суммируемость на B - из неравенства | f(x)| < | f (x)|p. Теорема доказана.
Ранее мы установили, что L2(X) есть подпространство в L(X). Верно ли это при других p > 1? Установим ряд результатов в этом направлении.
Теорема 2
f (x), g(x) e Lp ( X) ^ f (x) + g(x) e Lp ( X). Доказательство
Обозначим: A = X(| f | < | g|), B = X \ A. При xe A будет | f + g|p < (| f | + | g|)p < 2p | g|p, тогда [ L]J| f( x) + g( x) |p dx < 2 p [ L]J| g( x) |p dx < +¥ .
AA
Аналогично, для
xe B, [L]J| f(x) + g(x)|pdx,2p[L]J| f(x)|p dx<+¥.
BB
Теорема доказана.
Теорема 3
le R, f (x) e Lp ( X) ^ l f ( X) e Lp ( X) . Доказательство
[ L]J| If (x) |p dx =1[ L]^ f (x) |p <+¥.
XX
Теорема доказана.
Итак, для Lp(X) с L(X) выполнен критерий линейного пространства. Таким образом, верна.
Теорема 4
Lp(X) - линейное подпространство L(X) . Тогда Lp(X) - эвклидово пространство со скалярным произведением fg = [ L]J f (x)g(x)dx. Можно на нем рассматривать эвклидову
X
норму. Однако в Lp (X) принято вводить норму по-другому. Для ее введения подготовим необходимые результаты.
Пусть p > 1. Если — +1 = 1, то q называется показателем,
p q
сопряженным с p.
q > 1, и можно наряду с Lp (X) рассматривать Lq (X) . Сопряженным с q есть p. p и q - взаимносопряженные.
Теорема 5
Выполняется неравенство Гёльдера: если p, q - сопряжены, f( x) е Lp (X), то
[L]J f(x)g(x)dx < I [L]J| f(x)|p Ip I [L]J| g(x) |q 1 q
X V X J V X
f ( x) g( x) е Lp ( X).
Доказательство
Рассмотрим вспомогательную функцию y( x) = xa-ax, 0 <a< 1, 0 < x <+¥ .
y'(x)
=
a(xa-1
-1),
тогда
y'(x)
>
0 при 0
<
x
<
1,
y'(x) < 0 при x > 1.
Тогда
y
max
=
y(1)
=
1
-
a.
Значит
y(x)
<
1
-
a,
при
x
>
0.
A
Отсюда
xa
<
ax
+
(1
-
a),
x>
0. Если
A
>
0,
B
>
0,
x
=
—, то
B
получим
AaB1-a
=
a
A
+
(1
-
a)
B.
Пусть p, q - данные сопряженные показатели.
1 1 11 A B
Положим a = —, 1 -a = -, тогда ApBq < —+— . Это будет
p q p q
верно при A > 0, B > 0 .
Рассмотрим теперь данные функции f (x), g(x) .Если f ~ 0 v g ~ 0, то неравенство теоремы выполнено. Пусть f (x) ~ 0 a g(x) ~ 0 . При этом [L]J | f (x) |p dx > 0,
X
[I]j"|g(x)
|q
dx>
0.
Введем функции:
g
(
x)
,
h(x)
=
[
I]J|g(
x)|qdx
j( x) = v '
[I]J| f(x) |pd
x
X
j(x)h(x)| £ jM +^
p q
j(x)h(x) е I( X), тогда и f(x)g(x) е I( X) . Очевидно, [I]|| j(x) |p dx = [L]J| h(x) f dx = 1. Интегрируя последнее
XX
11
неравенство по X, имеем: [I] 11 j(x)h(x) | dx £ —+ — = 1.
x p q
Отсюда получится:
[I]|| f(x)g(x)| dx £ ^[I]|| f (x) |pdxjp ^[I]|| g(x) |p jq, поскольку |[I]|( f(x)g(x))dx|£[I]|| f(x)g(x)dx, то искомое
XX
неравенство выполняется. Теорема доказана.
Положим
A
=
j(
x) p,
B
=
j(
x)q.
Получим
Отсюда
.
Теорема 6
В пространстве Lp (X) выполняется неравенство Минковского.
([L]J| f(x) + g(x)|p dx)p < ([L]J| f(x)|pdx)p + ([L]J| g(x)|pdx)p.
X XX
Доказательство
При p = 1 неравенство, очевидно, верно. Пусть p > 1, q -
сопряженный показатель к p. Известно, что
p
f(x)g(x) е Lp(X) ^ f(x) + g(x) е Lp(x) . Тогда | f(x) + g(x) |q
входит в Lp (X). В неравенстве Гёльдера заменим f(x) на
p
| f(x)|, g(x) на | f(x) + g(x)|q.
Получаем [L]J| f(x) || f(x) + g(x) |q dx<
X
1 1
([L]J| f(x)|pdx)p([L]J| f(x) + g(x)|pdx)q .
XX
Аналогично [L]J | g(x) || f (x) + g( x) |q dx <
X
1 1
([L]J| g(x) |pdx)p([L]J| f(x) + g(x) |pdx)q .
Поскольку p = 1 + p ,
p p p
то | f + g |p =| f + g || f + g |q<| f || f + g |q + | g || f + g |q, получаем:
1
' p . ^p[L]J| f + g |p dx < I [L]J| f |pdxl + + f[L\\\g\Pdx)p([L\J\ f + g\Pdx\ .
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2
КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3
а\в 15
( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23
2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37
Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37
склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38
3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38
. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77
х = щ, k = 1,2,...,n 101
^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 206
= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 236
[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 255
+ f [L\\\g\Pdx)p([L\J\ f + g\pdx\ .