5.2. Сглаживание по нечётной базе

Сглаженный ряд рассчитывается по формуле: . В частности, если длина базы n=3, имеем: . Т.е., значение сглаженного ряда в момент t, определяется как среднее значений исходного ряда в тот же момент времени и в (n-1)/2 моменты времени до и после момента t.

Рисунок 1‑10 показывает сглаживание по базам в 3 и 5 периодов. Чем больше база – тем меньше длина сглаженных рядов.

Рисунок  STYLEREF 1 \s 1‑ SEQ Рисунок \* ARABIC \s 1 10 Скользящее среднее нечётной базы.

5.3. Сглаживание по четной базе

Перенести формулу сглаживания по нечетной базе на четную базу непосредственно не удаётся – непонятно к какому периоду относить усреднённые значения. В зависимости от целей сглаживания используют следующие подходы.

1.                 Отнесение результата сглаживания к моменту, разделяющему средние периоды.

. Если длина базы n=2, имеем: .

 

Данный способ часто используется в статистике, но неудобен тем, что исходный  и сглаженный ряд несопоставимы, т.к. их значения относятся к различным периодам.

2.                 Отнесение результата сглаживания к последнему периоду.

. Если длина базы n=2, имеем: .

Сглаженный ряд, полученный данным способом, отстаёт от ряда, полученного предыдущим способом, на n/2-0.5 периода. Т.е., является смещённым. (На его основе, однако, можно определить форму тренда). Это сглаживание используется как один из индикаторов биржевой конъюнктуры.

MS Excel использует именно этот метод.

3.                 Отнесение результата сглаживания к среднему периоду расширенной базы сглаживания.

У четной базы нет среднего периода. Если расширить её на 1 период – средний период появится. Чтобы «количество» периодов осталось чётным, будем считать крайние периоды за полпериода.

.

При n=2 имеем: .  При n=4 - и т.п.

Сглаженный ряд, полученный данным способом, идентичен сглаженному ряду, полученному первым способом и повторно сглаженным по базе = 2.

            Данный способ получил наибольшее распространение.

5.4. Взвешенное сглаживание

В предыдущем методе крайние наблюдения включались в сглаживание с весами ½. Данный подход можно расширить, в зависимости от представлений о природе изучаемого явления. Например, если предполагается, что колебания могут быть вызваны случайными задержками передачи информации, - веса должны напоминать нормальное распределение. Если же предполагать наличие затухающего последействия (например – внесение удобрений), то веса должны убывать со временем. Выбор весов – задача содержательного исследования. «Нормальное» распределение иногда моделируется на основе треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля – в первой строчке и первом столбце содержит 1. Значение прочих ячеек определяется как сумма двух ячеек – сверху и слева. Сумма элементов диагонали треугольника из N элементов равна 2N-1.  Очевидно, что для расчета весов используются только диагонали с нечётным числом элементов.

При n=3 имеем: - то же, что и в предыдущем случае.

При n=5 имеем и т.п.

5.5. Достоинства и недостатки метода

 

Достоинства	и недостатки
простота, наглядность, лёгкость интерпретации	Сокращение длины ряда при сглаживании

Иногда может быть недостатком то, что:

Период влияние наблюдений конечен (в границах базы сглаживания)

В сглаживании участвуют как предыдущие, так и будущие наблюдения.