12.1.2. Задачи о «смесях»

Постановка задачи. Имеется р ком­понентов (i == 1, 2, ..., р), при сочетании которых в раз­личных пропорциях образуются различные смеси. Заданы р чисел Сi характеризующих цену, вес, калорийность и т.д. единицы i-го компонента. Требуется определить состав смеси (т. е. числа X1, … ,Xi, … Xp), для которой суммарная характеристика (цена, вес и т. д.) окажется наи­лучшей.

При этом предполагается, что в состав каждого компонента входят q веществ. Для каждого вещества задано число Bj, указывающее минимально необходимое содержание j-го вещества в смеси. Через Aij обозначено количество j-го вещества (j = 1, 2, ..., q), которое входит в состав единицы i-го компонента.

Решенне. Предпо­лагается, что количество вещества в смеси равно сумме количеств вещества в каждой из компонент смеси, т. е. если смесь состоит из X1 единиц 1-го компонента, X2 единиц 2-го компонента и т. д., то количество вещества j в смеси равно . Из условия обязательного минимального содержания каждого из веществ в смеси получим си­стему неравенств:

Кроме того, очевидно, что 

Наконец, суммарная характеристика смеси выразится равенством .

Замечания.1. Кроме ограничений, по содержанию отдельных веществ в смеси, в задаче могут фигурировать ограничения по имеющимся запасам отдельных компонентов или по предельным нормам их включения в смеси. Могут задаваться также пропорции, в которых некоторые из компонентов должны входить в состав смеси.

2. Если известны условия изготовления компонентов с учетом имеющихся для этой цели ресурсов, то возникает более сложная объединенная задача составления оптимальной смеси, для  которой будут с наибольшим эффектом использованы ресурсы в производстве компонентов. Так, например, при составлении рациона кормления можно определить оптимальную структуру посевов, обеспечивающих кормление имеющегося поголовья скота наилучшим образом.

Ресурсами в данном случае служат участки земли, на которых выращиваются различные компоненты, включаемые в рацион.

Пример задачи. Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л. изопенттона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационног бензина: бензин А— 2:3:5:2, бензин В — 3 : 1 : 2: 1 и бензин С — 2: 2: 1 : 3.

Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина характеризуется числами: 120 руб., 100 руб. и 150 руб.

Определить план смешения компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции. (Вариант: Определить оптимальный план смешения из усло­вия максимального использования компонентов.)

12.1.3. Задачи о «раскрое»

Постановка задачи. На раскрой (распил, обработку) поступает s различных материалов. Требуется изготовить из них q различных изделий в коли­честве, пропорциональном числам B1, B2, … ,Bk, … ,Bq.

Каждая единица j-го материала (j == 1,2,..., s) может быть раскроена р различными способами, причем исполь­зование i-ro способа (i == 1,..., р) дает  единиц k-x из­делий.

Найти план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов, если материалов j-го вида поступает Dj единиц.

Решение. Обозначим через Xij количество единиц j-го материала, раскраиваемых по i-му способу (всего таких переменных будет p*s). Переменные Xij, очевидно, должны удовлетворять ограничениям:

где K — число комплектов изготавливаемых изделий.

Задача заключается в максимизации Z == K при вышеуказанных условиях.

В частном случае, когда на обработку поступает материал только одного образца (т. е. s = 1), в количестве D ед., модель принимает более простой вид:

 

Пример задачи. Для изготовления брусьев трех размеров: 0,6м, 1,5м и 2,5м в соотношении 2 : 1 : 3 на распил поступают бревна длиной в 3 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Решение. Прежде всего, определим всевозможные способы распила бревен, указав, сколько соответствующих брусьев при этом получается.

Способы распила (i)	Получаемые брусья			Количества бре­вен, распилен­ных по i-му способу
	0,6	1,5	2,5
1	5	—	—	X1
2	2	1	—	X2
3	—	2	—	X3
4	—	—	1	X4
Комплект	2	1	3

Теперь составляем математическую модель, приняв, что всего поступает на распил D бревен: максимизировать число комплектов Z=K при условиях, что все бревна должны быть распилены (X1+X2+X3+X4=D) и что число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности:

5Х1+2Х2=2К; Х2+2Х3=1К; Х4=3К.

Из последнего равенства, определив К=1/3Х4, и исключив К из остальных выражений, придем окончательно к следующей задаче:

После решения ее получим оптимальное решение задачи Х={4/39, 5/39, 0, 10/13} н Z=10/39.

Таким образом, 10,2% (4/39) общего числа поступающих бревен следует распиливать по 1-му способу, 12,8% — по 2-му способу и 77% — 4-му способу; 3-й способ распила применять не следует. При этом будет произведено 10/39 комплекта на каждые D брёвен.