9.2.1. Поворотные точки

Наиболее простой для применения критерий, особенно если ряд изображен графически, состоит в подсчете пиков и впадин. «Пик»— это величина, которая больше двух соседних. «Впадина», наоборот, - значение, которое меньше двух соседних, Оба эти значения на­зываются «поворотными точками» и нам предстоит рассмотреть во­прос: каково распределение числа поворотных точек в случайном ря­ду?

Рассмотрим конечный ряд из n величин . Началь­ное значение нельзя считать поворотной точкой, так как неизвест­но; и аналогично, нельзя рассматривать в качестве поворотной точ­ки последнее значение, так как неизвестно . Для определения поворотной точки требуются три последовательных значения. Если ряд случаен, то эти три значения могут следовать в любом из шести возможных порядков с равной вероятностью. Только в четырех из них будет поворотная точка, а именно когда наибольшее или наимень­шее из трех значений находится в середине. Следовательно, вероят­ность обнаружения поворотной точки в любой группе из трех значений  равна 2/3.

Для группы из n величин определим «счетную» переменную вершин X как

Тогда число поворотных точек р в ряде есть просто , и сразу же получаем: 

Это - ожидаемое число поворотных точек (другими словами, поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения). Если их больше (редкий случай), то ряд является быстро колеблющимся, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения положительно коррелированны. Од­нако для того, чтобы сделать вывод, существенна ли разница между наблюденным и ожидаемым числом, требуется знать дисперсию р. Можно показать, что с ростом n, распределение быстро приближается к нормальному с дисперсией

9.2.2. Длина фазы

Определенный интерес представляет не только число поворотных точек, но и распределение интервалов между ними. Интервал между двумя поворотными точками называется «фазой». Таким образом, если — впадина, a — пик, то между ними будет фаза длины 1.

Для того, чтобы установить наличие фазы длины d (скажем, восходящей), нужно обнаружить d + 3 членов, содержащих падение первого члена ко второму, затем последовательный подъем до (d+2)-го члена и  падение   к   (d+3)-му   члену.   Рассмотрим   такую  группу из (d+3) значений в порядке их возрастания. Если, не трогая двух крайних членов, извлечь пару чисел из оставшихся d+1 и одно из них поставить в начало, а другое в конец, получим фазу длины d. Существует 1/2d(d+1) способов такого выбора пары чисел, и каждый член пары может быть поставлен в любой конец, следовательно, число восходящих фаз равно d(d+1). Кроме того, можно первый член поставить в конец, а любой другой, кроме второго, в начало и получить ещё (d+1) случаев. Можно также последний член поставить в начало, а любой другой, кроме предпоследнего, в конец, что даёт ещё (d+1) случаев. При этом надо исключить двойной счет случая, когда первый член становится на последнее место, а последний на первое. Всего существует

 фаз случаев роста. Следовательно, вероятность либо восходящей, либо нисходящей фазы в группе чисел равна

В ряде длины n последовательно можно выделить n-d-2 групп по d+3 членов.  Таким образом, математическое ожидание числа фаз длины d во всем ряде равно 

а математическое ожидание общего числа фаз длины от 1 до n-3, которое обозначим через N, будет

Пример

В данных имеется 34 фазы. Фактическое число фаз различной длины и их теоретическое число, определяемое выражением для N, будет следующим:

Длина фазы	Число наблюдаемых фаз	Теоретическое число фаз
1	23	21,25
2	7	9,17
3	4	2,59
ИТОГО	34	33,01

Согласие хорошее, поэтому проверка существенности вряд ли необхо­дима.

 

Сравнение наблюденного и теоретического числа фаз с по­мощью критерия обычного вида неправомерно вследствие того фак­та, что длины фаз не являются независимыми. Уоллис и Мур пришли к выводу, что при разбиении длин фазы на три группы, d = 1, 2, >= 3, при значениях >= 6,3 может быть использован крите­рий с 2½ степенями свободы, а для более низких значений - критерий 6/7 с двумя степенями свободы.