9.2.3. Критерий, основанный на знаках разностей

Несколько более сложный критерий состоит в подсчете числа положительных разностей первого порядка в ряде, иначе говоря, чис­ла точек возрастания ряда. Для ряда из n членов получаем n — 1 раз­ностей. Как и прежде, определим «счетную переменную»:

Если теперь обозначить через с число точек возрастания случайного ряда, то: 

Распределение довольно  быстро  стремится  к  нормальности.   Можно показать, что дисперсия стремится к: 

Очевидно, что критерий, основанный на знаках разностей, совершенно бесполезен для выявления ряда, описывающего колеба­тельное движение, в котором число точек возрастания всегда будет приблизительно равно ½n. В основном он рекомендуется для провер­ки наличия линейного тренда. С другой стороны, критерий, основан­ный на поворотных точках, плохо подходит для обнаружения тренда, так как наложение заметных случайных колебаний на умеренный тренд приводит примерно к тому же множеству поворотных точек, что и при отсутствии тренда. Более совершенным, но и более сложным критерием для обнаружения линейного тренда являются регрессия и про­верка значимости регрессионного коэффициента или использование коэффициента t, описанного в следующем параграфе.

9.2.4. Критерии, основанные на ранговой корреляции

            Идею сравнения соседних значений ряда можно развить до сравнения всех значений. Для данного ряда подсчитаем чис­ло случаев, в которых . Обозначим это число через Р. Всего для сравнения имеется ½ n(n-1) пар и математическое ожида­ние числа Р для случайного ряда равно  ¼ n(n-1). Если Р превышает это число и превышение значимо, то это указывает на наличие возра­стающего тренда; Р, меньшее, чем это число, указывает на падающий тренд. В действительности, число Р связано простым соотношением с коэффициентом ранговой корреляции Кендэлаt: 

Этот коэффициент может изменяться от -1 до +1. Его математиче­ское ожидание для случайного ряда равно нулю, а дисперсия 

9.2.5. Сравнительный анализ критериев

Имеются и другие критерии, представляющие значительный теоретический интерес, но на практике они требуются редко.

Критерий для обнаружения линейного тренда требуется не часто, но когда он необходим, наилучшим критерием будет либо ли­нейная регрессия, либо коэффициент t. Последний имеет преимущест­во, которое заключается в том, что он не требует машинных вычисле­ний и легко обновляется. Можно показать, что критерий, основанный на знаках разностей, как критерий на тренд, имеет в асимптотике нулевую относительную эффективность в сравнении с критериями на основе коэффициента регрессии или t.

Если предполагается, что тренда нет, то подсчет поворотных точек как критерий проверки гипотезы о случайности при альтерна­тивной гипотезе о наличии систематических колебаний прост для применения и эффективен на практике. Но если поворотные точки появляются гроздьями,   то   более подходит фазовый критерий.

Фостером и Стьюартом рассмотрено распределение рекорд­ных значений в ряде. Рекордное значение — это значение, которое больше (или меньше), чем все предыдущие записанные значения. Как критерий гипотезы о тренде он менее эффективен, чем критерии на основе регрессионного коэффициента или t. Главный недостаток, без­условно, состоит в том, что если в действительности нет сильного тренда, то с течением времени рекордные значения имеют тенденцию ста­новиться редкими.

В начале отмечалось, что критерий для проверки ги­потезы о случайности может потребоваться для анализа остатков, полученных вычитанием из ряда систематических элементов. К сожа­лению, сам процесс вычитания обычно порождает корреляцию в по­лучаемых остатках, даже если исходные значения случайны. Именно поэтому довольно опасно применять рассмотренные критерии для ана­лиза остатков без исследования искажений, вносимых процессом вы­читания.

Ряд случайных колебаний дискретен по своей сути, но не­которые ряды непрерывного типа (острие лезвия бритвы под микроско­пом, звуковая дорожка движущейся пластинки) имеют весьма несис­тематический вид. Если изучать физические явления вплоть до уров­ня атомов, они, конечно, дискретные. Но остается вопрос, возможны ли математически непрерывные случайные ряды. По нашему мнению, от­вет должен быть отрицательным. Тем не менее, можно рассматривать ряд, в котором интервал наблюдения велик и охватывает большое чис­ло точек, в которых проявляется случайный эффект. Для некоторых целей такие ряды, подобные острию бритвы, можно рассматривать как непрерывные, но в математических доказательствах необходима осто­рожность. Осуществить предельный переход к континууму, как это де­лается в математике при построении арифметического континуума исходя из множества дискретных точек, не представляется возможным. Другими словами, не представляется возможным по­строить формально теорию непрерывного случайного ряда аналогично тому, как в математике строится теория вещественных чисел.

Все рассмотренные критерии, не зависят от вида распределения, за исключением стандартного критерия на основе регрессионного коэффициента, когда для определения линейного тренда строится регрессия переменной на время. Большинство рядов, встречающихся на практике, столь явно неслучайны, что тщательное обсуждение критериев случайности едва ли окупится. Однако в теории стационарных процессов часто точные результаты, связанные с распределениями, мо­гут быть получены только для случайных рядов, и эти результаты ис­пользуются в качестве полезной проверки неслучайных рядов по при­ближенным формулам.