12.1.4. Общая планово-производственная задача. Выбор интенсивностей использования различных технологических способов производства

Многие из ранее приведенных задач, а также ряд других планово-производственных задач укладываются в следующую общую задачу линейного программирования.

Постановка задачи. Некоторый про­изводственный процесс может вестись в p различных технологических режимах (способах организации про­изводства, способах обработки, раскроя и т. д.). В рас­сматриваемом процессе участвуют q производственных факторов (изделий, ресурсов и т. д.). Пусть Aij означает объём производства j-то фактора (j = 1, 2, ..., q), при применении i-ro технологического режима (i = 1, 2, .... p) с единичной интенсивностью. При этом если Aij > 0, то i-й фактор производится (например, изделия, продукты и т. д.), а если Aij < 0, то соответствующий фактор расходуется (например, ресурсы, сырье и т. д.).

Обозначим через Bj > 0 потребность в j-м факторе, если он производится, и через Bj < 0 — ресурсы j-ro фактора, если он расходуется. Таким образом, с помощью введения чисел Aij и Bj со знаками «+» или «-» устанавливается как бы формальное равноправие между ресурсами и потребностями.

Обозначим, наконец, через Ci оценку результата применения i-ro технологического режима единичной интенсивности. Определить производственный план, зада­нный величинами интенсивностей всех технологических способов, суммарная оценка которого будет наилучшей.

Решение. Обозначим через Xi интенсивность, с которой применяется i-й технологический режим. Тогда переменные должны . удовлетворять следующим двум видам ограничений:

В случае, когда j-й фактор есть производимый продукт, ограничение представляет собой ограничение по потребностям. Если же фактор есть расходуемый вид ресурсов, то мы имеем ограничение по ресурсам.

Суммарная оценка всего производственного процесса может быть получена с помощью формулы , запись которой предполагает, что оценки каждого технологического способа пропорциональны интенсивности его применения, а при использовании нескольких способов суммируются. Нетрудно видеть, что некоторые из ранее рассмотренных задач являются частными случаями данной, если соответственно истолковать такие понятия, как «факторы производства» и «технологические способы» в конкретных терминах данной задачи. В то же время указанная задача может непосредственно фигурировать как задача нахождения оптимального сочетания интенсивностей различных технологических режимов (способов производства).

Пример задачи. Нефтеперерабатывающий   завод располагает 10 ед. нефти сорта А и 15 ед. сорта В. При переработке нефти получаются бензин и мазут. При этом известны следующие три способа переработки:

Способы переработки	Результат
	Мазут	Бензин
1А+2В	2	3
2А+1В	5	1
2А+2В	2	1
Цена за единицу	2	10

Найти наиболее выгодный план переработки, дающий максимум товарной продукции.

12.1.5. Распределение ресурсов во времени. Оптимальное регулирование запасов

Постановка  задачи. Планируется производство однородного продукта для удовлетворения потребностей, меняющихся во времени. Весь годичный период разбит на N периодов. Потребности на продукт в i-м периоде составляют Bi. Известны также затраты на выпуск дополнительной единицы продукта (А руб.) и на хранение той же единицы в течение одного периода (С руб.). Составить оптимальный график производства по периодам, минимизирующий суммарные затраты.

Решение. Обозначим через Xi>0 выпуск продукции за i-й период, а через Ui запасы, которые образуются в конце i-ro периода, за счет превышения накопленного выпуска продукции, начиная с  1-го периода до данного, над накопленным расходом.

Пусть к началу планируемого периода выпуск продукции составляет Х0 единиц.

Средний размер запасов, хранящихся в течение i-го периода, составит 1/2 (Ui-1 + Ui). Поэтому расходы на хранение за весь плановый период будут составлять: .

Введём две новые неотрицательные переменные Yi и Zi из соотношений .

При этом, в оптимальном графике производства можно Yi трактовать как величину, на которую произошло расширение производства в i-м периоде, а Zi — соответственно как свертывание производства. Исходя из этого, суммарные дополнительные затраты на расширение производства запишутся и виде:

Таким образом, приходим окончательно к следующей модели линейного программирования:

Пример задачи. Планируется поквартальный выпуск продукции для удовлетворения переменного спроса В={50, 30, 40, 20}.Составить оптимальный график работы предприятия, если затраты на дополнительный выпуск 1 ед. продукции составляют 30 руб., а затраты на хранение той же еди­ницы в запасах в течение одного периода — 3 руб. При этом задан первоначальный запас U0 = 5.                  .

Решение. Согласно рассмотренной выше общей модели, обозначим соответственно выпуски продукции в I, II, III и IV квар­талах через X1,Х2,Х3,Х4, запасы продукции через Ui, объем роста производстве в i-м квартале через Yi; и объем свертыва­ния через Zi.

Тогда постановка приобретёт следующий конкретный вид:

Решение этой задачи дает следующий результат:X1=45, X2=35, X3=35, X4=35,

U2=5, U4=15, Z2=10, остальные переменные = 0. Z=45руб.