Метод вторичного квантования в случае статистики Ферми-Дирака(ф-д). Основные формулы.

Л: Реймс С. Теория многоэлектронных систем, 1976 г.

По ферми-системам надо рассмотрим все вопросы как для бозе-систем, но учесть что у фермионов антисимметричная волновая функция.

Надо использовать запись операторных функций метода вторичного квантования для получения результатов в ферми-системах.

Выражения:

имеют одинаковый вид и ферми- и в бозе- системах.

Обозначим:

- оператор уничтожения фермиона;

- оператор рождения фермиона;

- оператор числа частиц.

1

, где

0

тогда - это набор из 1 и 0.

Матричный элемент зависит от того, где находится -тая переменная, перестановка изменяет знак всей транспозиции, что отражается на матричном элементе.

Это приводит к тому, что коммутация для бозе-систем заменяется на антикоммутацию для ферми-систем, т.е.:

(1) Рассмотрим случай, когда в наборе ,

Тогда оператор

И если в обратном порядке действовать, то

Т.к. , т.к., а больше одной частицы в состоянии быть не может, а-состояниеи прибавление частицы в состоянииа дало запрещенное состояние, поэтому 0.

Аналогичные (1) соотношения вводятся для , а именно:

это тоже антикоммутационное соотношение.

Л: 1) Левич I и II том

2) Ландау-Лифшиц (Литаевский)

3) КуБо, Статистическая физика (механика), перевод с японского.

Предмет и метод статистической физики. Статистическое описание систем с большим числом степей свободы.

§111 Системы с большим числом степеней свободы.

Рассмотрим классические системы с большим числом степей свободы (хотя можно было бы рассмотреть и кв. системы). Наличие большого числа степеней свободы вносят некоторые особенности в их описание. Например в 1 воздуха содержится ~частиц (это число Лошмидта), но у каждой матер. точки (частицы) имеется 3 степени свободы, поэтому у этой системы огромное число степеней свободы.

В классической механике возможно описывать такие системы (через формализм Гамильтона). , гдеn – число степеней свободы. Описание системы сводится к решению уравнений:

i=1...n

Для решения этой системы надо 2n начальных условий. Задаём начальные условия и решаем систему. Но здесь сложные трудности (долгий счёт на ЭВМ). Но имеются ещё и качественные особенности этих систем, которые не охватываются этими уравнениями, т.е. детерминированный подход здесь не используют. Статистическая физика рассматривает переход от малого числа степеней свободы к большому.

и - это динамические переменные. Фазовое пространство – это 2n мерное пространство, декартовыми осями которого являются переменные и. Тогда состояние системы (которое задаётся динамическими переменными) в фазовом пространстве задаётся фазовой точкой. Движение системы в реальном пространстве задаётся движением точки в фазовом пространстве. Т.е. устанавливается соответствие между фазовым и реальным пространствами.

§112 Метод статистической физики (Элементы теории вероятностей).

Основной метод статистической физики – теория вероятностей, при этом в теории вероятностей для описания событий задаётся или вводится вероятность.

А – поле событий, Р – вероятность, тогда - это аксиоматика.

При изучении конкретных систем, для измерения вероятностей, используется закон больших чисел, который разработал Чебышев.

На основе закона больших чисел вводится аксиома измерений вероятностей (в абстрактной теории - закона измерения нет) через частоту появления события и через предельные соотношения.

Далее в теории вероятностей вводятся либо дискретное либо непрерывное множество.

Наряду с Р вводятся W, т.е. W – вероятности того, что некоторая величина заключена в интервале :

(1) , т.е.лежит в интервале отдо:

Здесь - плотность вероятности. Плотности вероятностных процессов и полей, которые сплошь заполняют исследуемые множества.

Под в (1) понимаетсяв момент времениt: .

Запишем n-точечную функцию распределения (или плотность распределения):

(2)

где

здесь

где , здесь индексi – чисто символический.

Функции (2) обладают определённым набором свойств:

1. Неотрицательность;

2. Симметричность (инвариантность относительно перестановок аргументов: );

3. Согласованность: если проинтегрировать ;

4. Нормированность на единицу 1: .