Добавление к микроканоническому распределению Гиббса.

Аналогом соотношения является для кв. подсистем соотношение

Для замкнутых кв. систем энергия системы , тогда имеет место принцип равной вероятности всех микросостояний, которые отвечают данному значению энергии системы, тогда, и тогда

(начало этого вопроса стр. 44а)

это вероятность реализации состояния с энергией

{т. к. все состояния одинаковы}

- номер подсистемы.

§128 Каноническое распределение Гиббса.

Система 1 и термостат 2 образуют замкнутую систему и микроканоническое распределение.

На базе микроканонического распределения строят макроканоническое распределение.

Также можно получить макроканонческое распределение системы через принцип возрастания энтропии.

Рассмотрим систему 1, и считаем что состояние стационарное.

Найдем условия экстремума ф-ции: где

мы исп. - квантовые ф-ции, т. к. это удобнее, чем исп., т. к. при исп.вылезает константа, которая вылезает из-за размерности.

- размерная величина, а надо брать от безразмерной величины.

А - это безразмерная величина.

второе начало термодинамики: т. е., если система выведена из состояния, то система идет в развитии с увеличением , поэтому - имеем условие экстремума.

(1) - имеем условие экстремума.

отсюда имеем задачу поиска экстремума ф-йии .

вероятность удовл. условию нормировки:

(2) - это условие для отыскания экстремума .

Задача (1) и (2) является задачей поиска условного экстремума.

Однако с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа можно найти безусловный экстремум . Для этого вводится ф-ции ,

где ,

где

Найдем производную

(остальные члены при диф. обращаются в 0)

Найдем 2-ые производные:

, при

это выражение отрицательное.

столь быть мы имеет , т. к. II производная <0.

Тогда из условия находим само условие экстремума

это константа находится из условия нормировки , где- число всех состояний

это есть принцип равной вероятности для замкнутых системы; это есть микро каноническое . распределение.

Теперь найдем экстремум энтропии при двух условиях, а именно при

(1) и (2)

Переходим от условного экстремума энтропии к безусловному экстремуму ф-ции :

ищем абсолютный экстремум этой ф-ции

Берем производные:

это условие экстремума , это одно и тоже

обозначим что условие экстремума для

это при условиях (1) и (2)

Тогда имеем:

Отсюда для (3)

Постоянная находится из условия нормировки, мы получим:

=1 ,тогда

это выражение наз. статистической суммой.

Тогда const есть статистич. сумма.

Это распределение (3) относится к системе

, где 1 находится в тепловом контакте с термостатом 2.

(3)-это Константа распределения Гиббса.

Микроканоническое распределение мы получали для замкнутых систем, где , т. е. условия

выражаются

в одно условие

и для микроканоническое. распределение мы получили

а каноническое распределение получили когда система 1 была в тепловом контакте с термостатом 2, и получили

const находится из условия , т. е.,

здесь -это среднее значение энергии, т. к. у нас случай термодинамики.

Найдем связь энтропии с энергией:

тогда

это по энергии.

В термодинамике - это наблюдаемая величина, поэтому пишут эту величину просто, т. к.

А набл.

Это из эксперимента это из теории

Тогда

Это из термодинамики.

тогда , но, тогда

мы определили тогда второй неопределенный

множитель Лагранжа.

тогда каноническое распределение Гиббса имеет вид:

, где

Аналогично пишут для , но длявместо стат. суммыбудет интеграл.

-температура в энергетических единицах.