- •§98 Энергетическое представление в случае дискретного спектра: волновая функция, оператор и их свойства.
- •§99Энергетическое представление в случае дискретного спектра: методы Шредингера и Гейзенберга.
- •, ( 1 )
- •§102Операторы рождения и уничтожения
- •§103 Свойства рождения и уничтожения. Оператор .
- •§104 Полином Эрмита (пэ) и функции Эрмита (фэ).
- •Метод вторичного квантования в случае статистики Бозе-Эйнштейна (б-э).
- •§ 105 Волновая функция в - представлении:
- •§ 106 Оператор в -представлении.
- •§107 Операторы рождения и уничтожения частиц.
- •§108 Оператор в- представлении.
- •- Одночастичных состояний.
- •§109 Оператор Гамильтона в методе вторичного квантования.
- •§110 Операторы вида и их свойства.
- •Метод вторичного квантования в случае статистики Ферми-Дирака(ф-д). Основные формулы.
- •Предмет и метод статистической физики. Статистическое описание систем с большим числом степей свободы.
- •§111 Системы с большим числом степеней свободы.
- •§112 Метод статистической физики (Элементы теории вероятностей).
- •§113 Микро- и макро- параметры систем.
- •§114 Свойство эргодичности системы.
- •§115 Два способа усреднения в стат физике.
- •§116 Понятие ансамбля систем.
- •§117 Эргодическая гипотеза.
- •§118 Равновесное состояние у системы.
- •§119 Время релаксации.
- •§120 Квазизамкнутость с статическая независимость подсистем.
- •§121 Принцип равновероятности микросостояний.
- •§122 Статистический вес макросостояния.
- •§123 Статистическая энтропия.
- •§124 Теорема Лиувилля.
- •§125 Микроканоническое распределение Гиббса. Рассмотрим замкнутую систему, и согласно принципу равной вероятности, все состояния системы, с заданной энергией , равновероятны.
- •§126 Каноническое распределение Гиббса.
- •§127 Принцип возрастания энтропии.
- •Добавление к т. Лиувилля
- •Добавление к микроканоническому распределению Гиббса.
- •§128 Каноническое распределение Гиббса.
- •§129 Флуктуации аддитивных величин. Рассмотрим величины, которые для всей системы связаны с аналогичными величинами подсистем по закону суперпозиции: ,
- •Посмотрим среднее от аддитивной наблюдаемой случайной величины:
- •§§ Энтропия и статистический вес.
- •§130 Температура.
- •§131 Статистическая сумма и ее свойства.
- •§132 Функция распределения вероятностей по энергии w(e) и распределение Гаусса.
- •§133 Квазиклассическое приближение в статистической физике.
- •- Это площадка, описывающая состояние
§129 Флуктуации аддитивных величин. Рассмотрим величины, которые для всей системы связаны с аналогичными величинами подсистем по закону суперпозиции: ,
- номер подсистемы. - число подсистем.
Под , например, можно приближенно понимать энергию, когда подсистемы квазизамкнуты, то они стат. независимы.
Стат. независимость значит, что исистемы выражается произведением по соотв. Ф-циям подсистем:
(1)
Для таких ф-ций упрощается расчет средних значений случайных величин, которые описываются этими ф-циями.
Мы будем рассматривать флуктуации
Часто мерой флуктуации выступает дисперсия , или относительное среднеквадратичное отклонение (ОСКО)
Следствием вида ф-ций (1) имеем
и - разные подсистемы
это легко показать, если исп. вид ф-ций (1), где определение среднего по непрерыв. Фазовому пр-ву:
тогда с использованием (1):
вероятность отдельных подсистем
и если рассмотреть то
(a и b есть среди коэффициентов C,
т. е. a и b это подсистемы из множества всех подсистем K)
=учтем для=
=
=1
Можно писать
эта запись соответствует вообще то
такому виду записи,
а=
можно
писать
Теперь рассмотрим такое же среднее, по флуктуаций величин:
Учтем, что:
(1)
(2)дисперсия сл. вел.в подсистеме
тогда с учетом (1) и (2) : (3)
Посмотрим среднее от аддитивной наблюдаемой случайной величины:
если разбиение системы на микроскопические системы таково, что они примерно равны, то говорят что тоже примерно равны для каждой подсистемы между собой, т. е. получили чтоне зависит от номера подсистемы.
K- число подсистем
Аналогично найдем дисперсию
т. к. -сумма, то и
т. е. дисперсия тоже обладает свойством
аддитивности и можно говорить что имеет
место такое соотношение
Найдем (это ОСКО):
(4)
Если система исходная достаточно величина, то число k можно сделать достаточно большим, поэтому пишут:
(из 4) , гдеN число частиц в системе.
Величина служит мерой вероятности отклонения величиныот ее среднего, или еслиучитывать эргодич. гипотезу, то это относительное время пребывания системы когда отлично от, где- параметр системы. Для достаточно больших систем, поэтому система почти все время пребывает в состоянии с параметром- с наиболее вероятным параметром.
§§ Энтропия и статистический вес.
Запишем определение энтропии:
Для канонического распределения мы установили это:
, где мы учли только один аддитивный интеграл движения E.
Тогда , по,а(*)
Соотношение (*) очень любопытное:
к этому привела аддитивность, и еще теорема Лиувилля.
тогда ,гдеэто вероятность состояния с энергией, т. е. это равновесное состояние.
Оценим
При рассмотрении кв. системы энергетические уровни образуют дискретное множество точек. Но для достаточно больших систем эти точки достаточно плотно расположены, и можно перейти к непрерывному распределению. Т. е. мы размазываем дискретный спектр по непрерывному. В этом нет ошибки, т. к. густота энергетических линий высока (линии очень близка друг к другу, т. е. переходит от к.)
Вводят . Запишем нормировку для.переходят в, гдеэто число состояний в интервале.
это плотность реализации состояния с
энергией , т. е. из интервала
А - это плотность состояния
Из малости имеем что система большую часть времени пребывает в состоянии с-энергией, ф вероятность пребывания в состоянииочень мала. Поэтому вид распределения:
E
Площадь под этой кривой можно рассчитать зная величину .
Мы знаем, что {, но это равно}
Параметруможно поставить в соответствии параметр:тогда, тогда
Взяв логарифмы, получим:
тогда (5)
Величина найденная таким образом называется статистическим весом.
Вероятность мультипликативная,-аддитивная.
Мы установили связь (5) энтропии и статистического веса, тогда -оценка статистического веса.
Энтропия определяется через статистическое усреднение. Это означает, что должны иметь достаточно большой по численности ансамбль систем, и провести усреднение. С другой сторон, если справедлива эргодич. гипотеза, то . Здесь стат. подход требует, чтобы время наблюдения было достаточно большим.
Энтропия это статистич. параметр, и все параметры, определяемые через энтропию, тоже статистические, т. е. они должны опр. на системах с большим числом частиц, с большим числом степеней свободы.