§107 Операторы рождения и уничтожения частиц.

1. Действие операторов и на .

Запишем в качестве операторов операторы и .

Напомним: (*)

Чтобы использовать соотношение (*) надо знать матричные элементы для операторов и :

мы их получили раньше.

Транспонируя, получаем:

Используя, что , тогда, тогда

Используя соотношение , тогда получим результаты действия на

Чем отличается вектор от, они отличаются только одним числом заполнения в состоянии a, а остальные состояния заполнены одинаково. В одночастичном состоянии с номером “а” в результате действия оператора появилась еще одна частица. Тогда - оператор рождения частицы в одночастичном a-том состоянии.

Посмотрим - получили новое состояние.

Из вектора чисел заполнения в результате действия операторапереходим в состояние с вектором чисел заполненные. В состоянии b число заполнения лишается единицы, т. е. в b-том состоянии уничтожается 1 частица. - оператор уничтожения частицы в b-том одночастичном состоянии.

2. Связь между и операторами и .

Мы имели матричный элемент одночастичного оператора:

Это матричный элемент произведения двух операторов: ,

Тогда оператор запишем:

(3)

Напомним, что - одночастичный оператор:

матричный элемент

и - одночастичные функции

- это сумма , а- это матричный элемент одного из слагаемых этой суммы

Поэтому запись (3 стр 28а) – удобна.

с) Свойства операторов рождения и уничтожения: и.

Можно рассмотреть следующие (дополнительные) свойства помимо тех свойств, что указаны в (а).

Д/з №9. Используя матричные элементы для операторов рождения и уничтожения получить результат коммутации операторов: (4)

Распишем коммутатор:

Подействуем коммутатором на , тогда получим результат (4).

- здесь всего n частиц, но произошёл переход частицы из состояния a в состояние b.

Посмотрим: .

Тогда результат действия операторов идают одинаковый результат.

Тогда при имеем.

Посмотрим случай :

Аналогично проделываем для

Тогда .

Тогда выполняется: , или можно записать.

§108 Оператор в- представлении.

Двухчастичный оператор

- это оператор, который одновременно на -тую и-тую частицу, он зависит от координат двух частиц одновременно.

Пример - это оператор Кулоновского взаимодействия:.

Под понимаем:.

Оператор учитывает взаимодействие между частицамии, которое можно учесть через метод возмущений? или вторичное квантование.

Мы рассмотрим через операторы рождения и уничтожения.

а) Разложение функции где, по произведениям:

- Одночастичных состояний.

и - одночастичные состояния.

- произведение одночастичных состояний.

Запишем следующее:

- здесь учтено, что из исходного состояния взяты две частицы из одного и того же состояния.

В функциях иисключены переменныеи.

b) Матричный элемент двухчастичного оператора.

Тогда матричный элемент оператора :

в силу равноправности членов суммы сумму

заменяем на

это любое слагаемое из суммы.

- это число слагаемых в сумме, т.к. .

Введём определение:

- матричный элемент, который определяется следующим скалярным произведением:

где

распишем матричный элемент в интеграл

это по определению.

Д/з показать, что для матричный элемент имеет вид:

с) Связь между и операторами рождения и уничтожения.

Получаем из (b):