- •§98 Энергетическое представление в случае дискретного спектра: волновая функция, оператор и их свойства.
- •§99Энергетическое представление в случае дискретного спектра: методы Шредингера и Гейзенберга.
- •, ( 1 )
- •§102Операторы рождения и уничтожения
- •§103 Свойства рождения и уничтожения. Оператор .
- •§104 Полином Эрмита (пэ) и функции Эрмита (фэ).
- •Метод вторичного квантования в случае статистики Бозе-Эйнштейна (б-э).
- •§ 105 Волновая функция в - представлении:
- •§ 106 Оператор в -представлении.
- •§107 Операторы рождения и уничтожения частиц.
- •§108 Оператор в- представлении.
- •- Одночастичных состояний.
- •§109 Оператор Гамильтона в методе вторичного квантования.
- •§110 Операторы вида и их свойства.
- •Метод вторичного квантования в случае статистики Ферми-Дирака(ф-д). Основные формулы.
- •Предмет и метод статистической физики. Статистическое описание систем с большим числом степей свободы.
- •§111 Системы с большим числом степеней свободы.
- •§112 Метод статистической физики (Элементы теории вероятностей).
- •§113 Микро- и макро- параметры систем.
- •§114 Свойство эргодичности системы.
- •§115 Два способа усреднения в стат физике.
- •§116 Понятие ансамбля систем.
- •§117 Эргодическая гипотеза.
- •§118 Равновесное состояние у системы.
- •§119 Время релаксации.
- •§120 Квазизамкнутость с статическая независимость подсистем.
- •§121 Принцип равновероятности микросостояний.
- •§122 Статистический вес макросостояния.
- •§123 Статистическая энтропия.
- •§124 Теорема Лиувилля.
- •§125 Микроканоническое распределение Гиббса. Рассмотрим замкнутую систему, и согласно принципу равной вероятности, все состояния системы, с заданной энергией , равновероятны.
- •§126 Каноническое распределение Гиббса.
- •§127 Принцип возрастания энтропии.
- •Добавление к т. Лиувилля
- •Добавление к микроканоническому распределению Гиббса.
- •§128 Каноническое распределение Гиббса.
- •§129 Флуктуации аддитивных величин. Рассмотрим величины, которые для всей системы связаны с аналогичными величинами подсистем по закону суперпозиции: ,
- •Посмотрим среднее от аддитивной наблюдаемой случайной величины:
- •§§ Энтропия и статистический вес.
- •§130 Температура.
- •§131 Статистическая сумма и ее свойства.
- •§132 Функция распределения вероятностей по энергии w(e) и распределение Гаусса.
- •§133 Квазиклассическое приближение в статистической физике.
- •- Это площадка, описывающая состояние
§107 Операторы рождения и уничтожения частиц.
Действие операторов и на .
Запишем в качестве операторов операторы и .
Напомним: (*)
Чтобы использовать соотношение (*) надо знать матричные элементы для операторов и :
мы их получили раньше.
Транспонируя, получаем:
Используя, что , тогда, тогда
Используя соотношение , тогда получим результаты действия на
Чем отличается вектор от, они отличаются только одним числом заполнения в состоянии a, а остальные состояния заполнены одинаково. В одночастичном состоянии с номером “а” в результате действия оператора появилась еще одна частица. Тогда - оператор рождения частицы в одночастичном a-том состоянии.
Посмотрим - получили новое состояние.
Из вектора чисел заполнения в результате действия операторапереходим в состояние с вектором чисел заполненные. В состоянии b число заполнения лишается единицы, т. е. в b-том состоянии уничтожается 1 частица. - оператор уничтожения частицы в b-том одночастичном состоянии.
Связь между и операторами и .
Мы имели матричный элемент одночастичного оператора:
Это матричный элемент произведения двух операторов: ,
Тогда оператор запишем:
(3)
Напомним, что - одночастичный оператор:
матричный элемент
и - одночастичные функции
- это сумма , а- это матричный элемент одного из слагаемых этой суммы
Поэтому запись (3 стр 28а) – удобна.
с) Свойства операторов рождения и уничтожения: и.
Можно рассмотреть следующие (дополнительные) свойства помимо тех свойств, что указаны в (а).
Д/з №9. Используя матричные элементы для операторов рождения и уничтожения получить результат коммутации операторов: (4)
Распишем коммутатор:
Подействуем коммутатором на , тогда получим результат (4).
- здесь всего n частиц, но произошёл переход частицы из состояния a в состояние b.
Посмотрим: .
Тогда результат действия операторов идают одинаковый результат.
Тогда при имеем.
Посмотрим случай :
Аналогично проделываем для
Тогда .
Тогда выполняется: , или можно записать.
§108 Оператор в- представлении.
Двухчастичный оператор
- это оператор, который одновременно на -тую и-тую частицу, он зависит от координат двух частиц одновременно.
Пример - это оператор Кулоновского взаимодействия:.
Под понимаем:.
Оператор учитывает взаимодействие между частицамии, которое можно учесть через метод возмущений? или вторичное квантование.
Мы рассмотрим через операторы рождения и уничтожения.
а) Разложение функции где, по произведениям:
- Одночастичных состояний.
и - одночастичные состояния.
- произведение одночастичных состояний.
Запишем следующее:
- здесь учтено, что из исходного состояния взяты две частицы из одного и того же состояния.
В функциях иисключены переменныеи.
b) Матричный элемент двухчастичного оператора.
Тогда матричный элемент оператора :
в силу равноправности членов суммы сумму
заменяем на
это любое слагаемое из суммы.
- это число слагаемых в сумме, т.к. .
Введём определение:
- матричный элемент, который определяется следующим скалярным произведением:
где
распишем матричный элемент в интеграл
это по определению.
Д/з показать, что для матричный элемент имеет вид:
с) Связь между и операторами рождения и уничтожения.
Получаем из (b):