§99Энергетическое представление в случае дискретного спектра: методы Шредингера и Гейзенберга.

У нас имеется волновое уравнение для - функции:

, где .

- функция динамических переменных и времени .

Мы ввели оператор эволюции, который связывает две волновые функции в разный момент времени:

т.к. нормировка сохраняется во времени, то – унитарный оператор

.

Для оператора – уравнение:

Рассмотрим случай стационарной задачи , тогда в этом случае:

Положим , тогда вводятся 2 метода:

1 - Шредингера: временная зависимость или эволюция описывается через волновую функцию.

2 - Гейзенберга: эволюция системы описывается через временную зависимость

оператора, или соответствующего уравнения движения для оператора.

Будем писать:

–для 1

–для 2

Причём–связь волновых функций в этих 2-ч методах.

Через оператор эволюции (некоторое унитарное преобразование)

И обратное ему преобразование: .

и

Запишем уравнение движения для оператора :

-это для представления Гейзенберга, причём , т.к..

Тогда уравнение - идёт к- описанию.

- идёт к - описанию.

Представления Шредингера и Гейзенберга равнозначны.

Мы рассмотрим методы Шредингера и Гейзенберга в случае энергетического

представления ( в случае дискретного спектра).

Чаще используется метод Шредингера, но мы рассмотрим оба метода.

Мы переходим к энергетическому представлению, это значит, что мы переходим

от функций переменных к функциям переменных (так как спектр

дискретный ) .

Напомним полученные формулы:

Для Шредингера: - временная зависимость заключена в волновой функции, а оператортаков, что.

Для Гейзенберга – временная зависимость переносится с функции на оператор:

.

Уравнение функции движения для оператора:

,

которое в частном случае переходит в коммутатор при

Мы рассматриваем Энергетическое представление, т.е. одной из динамических

переменных выбрана энергия:

где

Вообще переход от к можно рассматривать как каноническое преобразование:.

А произвольный оператор в другое представление переходит через преобразование .

Для дискретного случая ядро переходит в -матричный

элемент. По определению матричного элемента

Используем в энергетическом представлении представления и .

Запишем матричный элемент оператора :

={ – собственная функция оператора }=

= - матрица энергий диагональная в собственном представлении.

Тогда уравнение Шредингера в методе Шредингера:

Вместе с здесь

ещё другие

динамические

переменные

Получили уравнение Шредингера в методе , в энергетическом представлении.

Если задача стационарная, то от времени и получаем

Рассмотрим метод Гейзенберга, здесь используется оператор эволюции :

Это соотношение переходит в случае дискретного энергетического спектра:

, ( 1 )

где , при.

Если рассмотреть , и матричный элемент тогда имеет вид:

- диагональный вид.

Тогда ( 1 ) перепишется:

.

Т.е. - получим связь через оператор эволюции.

Рассмотрим матричные элементы:

( ** )

Найдём ={в силу симметрии оператора }=

( * )

Подставим ( * ) в ( ** )

при суммировании

–это матричный элемент в представлении Гейзенберга.

Введём , тогда матричный элемент в представлении Гейзенберга

Получим производную от матричного элемента:

§100 Метрическая форма задачи о линейном гармоническом

осцилляторе(Л Г О).

Метрические элементы операторов в методе Шредингера и Гейзенберга( энергетическое представление).

Запишем оператор для линейного гармонического осциллятора:

,

где оператор –в безразмерных переменных.

Где ( 1 )

( 2 )

И коммутаторы: ( 3 )

( 4 )

Производная по времени: ( 5 )

( 6 )

Из ( 5 ) и ( 6 ) получаем: - это такое уравнение движения.

Можно записать –это уравнение, записанное в методе Гейзенберга, приводит к дисперсному уравнению:

Введём безразмерное время: ( * )

Тогда переходит в ( 10 )

где - безразмерная частота.

Тогда ( 5 )  ( 7 )

( 6 )  ( 8 )

И само уравнение движения переходит в:

( 9 )

и в методе Гейзенберга:

Используя ( * ) и это уравнение, получаем дисперсионное уравнение:

, которое имеет решение: и мы записали

.Можно записать ещё, что для случая.

Можно записать таким образом:

(12)

Для(13)

Здесь и здесь присутствует

максимальное из nиn₁

Для матричного элемента получим уравнение: , которое в методе Гейзенберга переходит в

Аналогично (13) можем записать:

Это было получено в Vсеместре и надо уметь это получать.

Связь представлений дается в (10), и надо еще учесть, что , тогда в представлении Гейзенберга получим следующие величины: и

Чаще используют и , чем и .

Матричный элемент : (это и для H и дляSописания, в энергетическом

представлении).

Напомним,как действует оператор в-представлении и в энергетическом представлении:

Сначала, для произвольного оператора :

(14)- это в- представлении

(15)- это в энергетическом представлении илиn-представлении,

где n-номер уровня.

В (14) матричный элемент выступает в роли разложения функции по базису собственных функций.

В (15) – это матричный элемент в операторном представлении.

Теперь для :

И аналогично можно записать для оператора :

(15), где