- •§98 Энергетическое представление в случае дискретного спектра: волновая функция, оператор и их свойства.
- •§99Энергетическое представление в случае дискретного спектра: методы Шредингера и Гейзенберга.
- •, ( 1 )
- •§102Операторы рождения и уничтожения
- •§103 Свойства рождения и уничтожения. Оператор .
- •§104 Полином Эрмита (пэ) и функции Эрмита (фэ).
- •Метод вторичного квантования в случае статистики Бозе-Эйнштейна (б-э).
- •§ 105 Волновая функция в - представлении:
- •§ 106 Оператор в -представлении.
- •§107 Операторы рождения и уничтожения частиц.
- •§108 Оператор в- представлении.
- •- Одночастичных состояний.
- •§109 Оператор Гамильтона в методе вторичного квантования.
- •§110 Операторы вида и их свойства.
- •Метод вторичного квантования в случае статистики Ферми-Дирака(ф-д). Основные формулы.
- •Предмет и метод статистической физики. Статистическое описание систем с большим числом степей свободы.
- •§111 Системы с большим числом степеней свободы.
- •§112 Метод статистической физики (Элементы теории вероятностей).
- •§113 Микро- и макро- параметры систем.
- •§114 Свойство эргодичности системы.
- •§115 Два способа усреднения в стат физике.
- •§116 Понятие ансамбля систем.
- •§117 Эргодическая гипотеза.
- •§118 Равновесное состояние у системы.
- •§119 Время релаксации.
- •§120 Квазизамкнутость с статическая независимость подсистем.
- •§121 Принцип равновероятности микросостояний.
- •§122 Статистический вес макросостояния.
- •§123 Статистическая энтропия.
- •§124 Теорема Лиувилля.
- •§125 Микроканоническое распределение Гиббса. Рассмотрим замкнутую систему, и согласно принципу равной вероятности, все состояния системы, с заданной энергией , равновероятны.
- •§126 Каноническое распределение Гиббса.
- •§127 Принцип возрастания энтропии.
- •Добавление к т. Лиувилля
- •Добавление к микроканоническому распределению Гиббса.
- •§128 Каноническое распределение Гиббса.
- •§129 Флуктуации аддитивных величин. Рассмотрим величины, которые для всей системы связаны с аналогичными величинами подсистем по закону суперпозиции: ,
- •Посмотрим среднее от аддитивной наблюдаемой случайной величины:
- •§§ Энтропия и статистический вес.
- •§130 Температура.
- •§131 Статистическая сумма и ее свойства.
- •§132 Функция распределения вероятностей по энергии w(e) и распределение Гаусса.
- •§133 Квазиклассическое приближение в статистической физике.
- •- Это площадка, описывающая состояние
§102Операторы рождения и уничтожения
в задаче об ЛГО (линейном гармоническом осцилляторе)
Введем оператор следующим образом:
В
силу эрмитовости оператора
и:и
Посмотрим как действуют операторы ина:
Из (15): (15’)
Из (15’) и (14) мы получаем:
(16)
Сами операторы ина себе нагрузки не несут. Но их можно интерпретировать как операторы рождения и уничтожения, т.е. имеется ансамбль одинаковых частиц с энергией, и можно осуществить переход между эквивалентными энергиями. Потому переход частицы на нижний уровень мы интерпретируем как уничтожение частицы с энергией, а переход частицы на верхний уровень мы интерпретируем как рождение частицы с квантом.
- оператор уничтожения частицы с квантом на данном энергетическом уровне.
- оператор рождения частицы с квантом на данном энергетическом уровне.
§103 Свойства рождения и уничтожения. Оператор .
Мы введем оператор
Это вид в координатном
представлении.
Действие на :
(1*)
в силу этого отношения, - оператор уничтожения.
Мы ввели понятие числа частиц n, c квантом , которые характеризуют состояние осциллятора . Это состояние мы интерпретируем как n частиц с квантом .
, тогда матричный элемент оператора уничтожения: это различные модификации матричного элемента , т.к. n=n1-1 это тоже самое, что и n+1=n1.
Наряду с этим, мы введем сопряженный оператор:
его вид в координатном представлении
Действие этого оператора на волновую функцию :
(2*)
И матричный элемент этого оператора имеет вид:
Это разные модификации
этого матричного элемента.
Очевидно, что можно получить из :
,т.к. - сопряженный к .
В силу вещественности имеем:
Рассмотрим коммутационные соотношения операторов и :
эта часть есть оператор ; т.е.,
где - единичный оператор.
Рассмотрим , он равен
Найдем коммутатор:получим единичный оператор.
Выразим оператор через рождения и уничтожения:
симметризуя, получаем: , чаще используют
Найдем собственные значения для и , найдем их в матричной форме.
, тогда
Аналогично: - посмотрим на этот матричный элемент.n – это число частиц с квантом . Поэтому оператор - это оператор числа частиц: . Тогда
Посмотрим на соотношение (1*).
Подействуем: - т.е. состояние соответствует нулю частиц, это состояние вакуума или основное состояние.
Подействуем (2*):
Подействуем на : и т.д.: этим
соотношением устанавливается связь между и , тогда имеем
Достаточно найти , и тогда сможем найти все остальные функции .
§104 Полином Эрмита (пэ) и функции Эрмита (фэ).
Функции - называются ФЭ, они удовлетворяют уравнению:
Оператор
Тогда ФЭ удовлетворяют уравнению: - это дифференциальное уравнение.
ФЭ – ортонормированны:. Скалярное произведение.
Это означает:
Теперь запишем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция , это дифференциальное уравнение 1-го порядка: , т.е. - решение этого уравнения: .
Константу C0 найдем из условия нормировки:
взяли Re C0, т.к. сама - вещественная.
Тогда .
Поэтому:
Найдем функцию .
Рассмотрим коммутацию:
Но коммутатор:
Тогда:
Тогда получаем операторное равенство:
но оператор ,
тогда
Д
Легко
заметить, что
это =
1
Тогда
часто пишут: (3*)
где: - это ПЭ.
Константа Cn:
Запишем 2-3 полинома вида ПЭ:
Так получаются ПЭ.
Индекс полинома n указывает максимальную степень переменной .