2.3.2. Центральные моменты

Получение центральных моментов (μ) основано на использовании отклонений (α) значений классов (W) или отдельных вариант (V) от среднеарифметической величины (M) и может быть выполнено по следующим исходным формулам:

.

В случае получения отклонений по точному значению М, вычисленному без округлений, значение первого центрального момента будет равно нулю:

Если же значение М вычислено не точно или принято с округлением, то приведенная формула теряет смысл и величина μ₁ приобретает конкретное значение. Так, в задании использовано приближенное значение среднеарифметической величины 31,4 вместо точного - 31,4231. В результате этого

Вышеприведенные исходные формулы для получения второго, третьего и четвертого центрального моментов в практике статистических вычислений обычно не используются в виду исключительной трудоемкости вычислительных работ. Значения перечисленных центральных моментов можно получить более просто, если использовать начальные моменты.

Для выполнения задания необходимо по данным вычисленных начальных моментов определить значения второго (μ₂), третьего (μ₃) и четвертого (μ₄) центральных моментов. В нашем примере:

μ₂ =ν₂ – ν₁² = 2,99 – (-0,144)² = 2,99 – 0,0207 = 2,969 ≈ 2,97;

μ₃= ν₃ –3 ν₂ ν₁+2 ν₁³ = 0 – 3×2,99×(-0,144) + 2×(-0,144)³ = -3 (-0,4306) + 2(-0,00299) = 1,292 – 0,00598 = 1,28602 ≈ 1,286;

μ₄= ν₄ – 4 ν₃ ν₁+6 ν₂ ν₁² – 3 ν₁⁴ = 25,08 – 4×0×(-0,144) + 6×2,99×(-0,144)²– 3(-0,144)⁴ = 25,08 – 0 + 17,94(0,0207) – 3(0,00043) = 25,08 + 0,371 – 0,00129 = 25,44911 ≈ 25,45.

Значения центральных моментов в качестве конкретных статистических показателей не используются и служат вспомогательной величиной для получения основных моментов.

2.3.3. Основные моменты

Основные моменты получают путем деления центральных на корень квадратный из второго центрального момента в степени порядка основного момента.

Поскольку и,

то в нашем примере вычисляют только значения третьего и четвертого основных моментов

Полученные значения r₃ и r₄ имеют практическое значение, т.к. используются для оценки косости и крутости вариационных рядов.

2.4. Вычисление статистических показателей с использованием значений моментов

В задании с помощью моментов получают четыре статистических показателя: среднюю величину признака (М), основное отклонение (σ), показатели косости (К) и крутости (i) вариационного ряда.

Применительно к нашему примеру перечисленные показатели вычисляются следующим образом:

см

Значения М и σ, полученные с использованием моментов, не отличаются от результатов вычислений этих же величин, определенных способом непосредственных вычислений. Допускаемая величина расхождения при правильных вычислениях не должна превышать предела округления; в нашем примере для:

М - до 0,05 см, для σ - 0,005 см.

Напомним, что в данном случае получено одинаковое именованное значение основного отклонения (σ = 6,89 см). Основное отклонение, выраженное в относительных единицах (σ), т.е. в долях интервала (единицах разряда), в нашем примере можно определить двумя путями:

Показателем косости (асимметрии) вариационного ряда (К) служит величина третьего основного момента (r₃).

В правильных (симметричных) вариационных рядах место класса с максимальной частотой (модальный класс) находится в середине (центре) ряда. Частоты классов, расположенных по обе стороны от центрального класса, приблизительно одинаковы. Такие ряды симметричны и косости не имеют: К = r₃ = 0.

В асимметричных рядах места модального и центрального классов не совпадают. Кривые распределений, отображающие такие рады имеют неодинаковые ветви, по направлению которых судят о характере асимметрии. При смещении модального класса влево от центрального длина правой ветви превышает длину левой. Это дает основание констатировать правостороннюю асимметрию, которая считается также и положительной, поскольку величина К. будет со знаком плюс. При смещении модального класса вправо будет иметь место левосторонняя отрицательная асимметрия при отрицательном значении К.

Косость ряда также оценивается и по величине; при К <±0,5 косость считается малой, при К от ±0,5 до ±1,0 – средней, при К. >±1,0 – большой.

Крутость вариационных рядов, или кривых их отображающих, оценивается по характеру распределения частот в классах. В сравнении с нормальными теоретическими распределениями практические ряды могут быть плосковершинными (туповершинными) или островершинными (высоковершинными).

Плосковершинные ряды лишены четко выраженного модального класса, частоты центральных классов имеют близкие значения, пределы ряда ограничены. В островершинных рядах имеется характерный максимум из одного или нескольких классов, пределы ряда несколько расширены за счет классов с малыми частотами.

Объективная оценка крутости (i) производится по формуле i = r₄ - 3. Если у нормальных рядов i = 0 (r₄ = 3), то при i > 0 ряд считается островершинным (эксцесс кривой), при i < 0 - низковершинным (дефект кривой).

Оценка косости и крутости практического ряда, рассматриваемого в нашем примере, будет следующей.

Оценка косости: поскольку К = r = +0,25, вариационный ряд имеет малую положительную (правую) асимметрию.

Оценка крутости: поскольку i = r₄ -3 = 2,89 - 3 = -0,11 вариационный ряд является плосковершинным.

Полученные показатели косости и крутости вычислениями по формулам не контролируются.

Рис. 2.1 Виды асимметрии рядов:

1 - симметричный (правильный); 2 - правосторонняя; 3 - левосторонняя

Критерием правильности вычислений этих показателей может служить оценка характера распределения частот отдельных классов, что сравнительно легко выполняется при анализе кривой по графикам (рис. 2.1 и 2.2).

Рис. 2.2 Крутость рядов распределения:

1 - правильный ряд; 2 - островершинный ряд (эксцесс); 3 - туповершинный ряд (дефект).