2.3.1.1. Вычисление начальных моментов по способу произведений

Для определения начальных моментов по способу произведений необходимо:

- выписать данные интервального вариационного ряда;

- установить отклонения (a) значений каждого класса (W) от условного начала (А), выразив отклонения в долях интервала (λ);

- вычислить суммы произведений частот классов на отклонения в степени каждого из определяемых моментов;

- подставить полученные значения в формулы и вычислить значения моментов.

Величина отклонений в условных единицах определяется по формуле:

,

где: W- значения классов; А - условное начало; λ- величина интервала.

Пример иллюстрирует порядок вспомогательных вычислений и получение значений четырех начальных моментов, показанных в табл.2.2.

Таблица 2.2

Вычисление начальных моментов по способу произведений

W	n	A	a	an	a2	a2n	a3	a3n	a4	a4n
16	3		-4	- 12	16	48	- 64	- 192	256	768
20	14		-3	- 42	9	146	- 27	- 378	81	1134
24	29		-2	- 58	4	116	- 8	- 232	16	464
28	41		-1	- 41	1	41	- 1	- 41	1	41
32	54	32	0	0	0	0	0	0	0	0
36	32		1	32	1	32	1	32	1	32
40	20		2	40	4	80	8	160	16	320
44	10		3	30	9	90	27	270	81	810
48	4		4	16	16	64	64	256	256	1024
52	1		5	5	25	25	125	125	625	625
	208			- 153		622		- 843		5218

В качестве условного начала (А) можно выбрать значение любого из классов вариационного ряда. Однако для упрощения вычислений этот выбор следует увязать с характером распределения вариант ряду. В правильных рядах, где модальный класс занимает приблизительно срединное место, его значение и принимается за условное начало. В асимметричных рядах, имеющих модальный класс в начале или конце ряда, за условное начало выбирается один из классов, отстающих от модального на несколько интервалов в сторону середины ряда.

А.К. Митропольский (1969) рекомендует контролировать правильность выбранного условного начала неравенством:

-0,5 < ν₁ < +0,5.

В нашем примере условное начало выбрано правильно, поскольку

ν₁ = -0,144 > -0,5.

Правильность полученных описанным способом значений моментов можно проконтролировать, руководствуясь порядком вычислений и формулами, показанными в таблице 2.3.

Содержание проверки сводится к следующему. В качестве нового условного начала (А₁) для вычисления отклонений выбирается значение класса, отстоящего от прежнего на один интервал в сторону начала ряда. В нашем примере вместо А = 32 см, принимается А₁ = 28 см. Затем вычисляются отклонения (а₁) от нового начала, значения их возводятся в четвертую степень и умножаются на соответствующие частоты.

Правильность вычислений значений искомых начальных моментов (ν₁, ν₂, ν₃, ν₄) признается в случае наличия тождества:

где: ν₀= 1.

Следует подчеркнуть, что выражение является четвертым начальным моментом (), вычисленным относительноА₁ = 28 см, и его не следует смешивать с , полученным относительноА = 32 см.

В нашем примере:

;

Поскольку 43,45 ≈ 43,44, или 43,4 = 43,4, то делается вывод о том, что все четыре начальные момента вычислены верно.

При отсутствии тождества отыскание ошибок в вычислениях следует начинать с проверки величин а²n , а³n, а⁴n для каждого класса вариационного ряда (табл. 2.3.). Указанные величины следует получить минуя вычисления а², а³, а⁴, т.е. путем последовательного непосредственного умножения величины an на конкретное отклонение а. В нашем примере для класса 40 см: a²n= an·a= 40 х 2 = 80; a³n =а²n·a =; 80 х 2=160; a⁴n = a³n·a=160·2=320

Контроль вычислений:

9038:208 = 1,0 + 4(-0,144) + 6 х 2,99 + 4 х 0 + 25,08

43,45 = 1,0 - 0,576 + 17,94 + 25,08;

43,45 ≈ 43,444;

43,4 = 43,4

Таблица 2.3

Проверка начальных моментов, вычисленных по способу произведений

W	n	A1			n
16	3		- 3	81	243
20	14		- 2	16	224
24	29		- 1	1	29
28	41	28	0	0	0
32	54		1	1	54
36	32		2	16	512
40	20		3	81	1620
44	10		4	256	2560
48	4		5	625	2500
52	1		6	1296	1296
	208				9038

Для упрощения техники вычисления и проверки значений начальных моментов, согласно данным Н.Н. Свалова (1977), все расчеты можно сосредоточить в одной таблице, как это показано ниже при вычислении начальных моментов по способу сумм.