2. Вычисление показателей вариационного ряда при большой выборке

В данном задании производится вычисление различных статистических показателей вариационного ряда. При этом два основных статистических показателя - среднее значение признака (М) и основное отклонение (σ) - определяются двумя способами. Первый из них - способ непосредственных вычислений - в практике статистической обработки, как правило, не используется в виду повышенной трудоемкости.

Значения М и σ обычно получают с использованием теории моментов. Однако значение метода непосредственных вычислений облегчает понимание теории статистики и, прежде всего, смысла среднего значения и основного отклонения признака. Кроме того, получение указанных показателей двумя способами обеспечивает дополнительный контроль правильности вычислений.

2.1. Получение статистических показателей способом непосредственных вычислений по исходным формулам

Для вычисления основных статистических показателей среднего значения признака (М) и основного отклонения (σ) производятся вспомогательные расчеты, показанные в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Вспомогательные расчёты для получения среднеарифметической величины

(М) и основного отклонения (σ) способом непосредственных вычислений

W	n	Wn	M	= W-M
16	3	48		-15,4	-46,2	237,16	711,48
20	14	280		-11,4	-159,6	129,96	1819,44
24	29	696		-7,4	-214,6	54,76	1588,04
28	41	1148		-3,4	-139,6	11,56	473,96
32	54	1728	31,4	+0,6	+32,4	0,36	19,44
36	32	1152		+4,6	+147,2	21,16	677,12
40	20	800		+8,6	+172,2	73,96	1479,20
44	10	440		+12,6	+126,0	158,76	1587,60
48	4	192		+16,6	+66,4	275,56	1102,24
52	1	52		+20,6	+20,6	424,36	424,36
	208	6536			-559,8 +564,6 +4,8		9882,88

Среднее (среднеарифметическое) значение признака получают по формуле:

где: W- значение класса, n.- частота класса, N - численность ряда.

В нашем примере см

Контроль правильности вычисления M:

: = 4,8 : 208 = 0,023 < 0,05

Во избежание ошибок в последующих вычислениях полученное значение М подлежит контролю. Приближенный контроль можно выполнить следующим образом: вероятное значение М должно быть близко к значению класса с максимальной частотой. Для точного контроля необходимо использовать сумму произведений отклонений значений классов (W) от округленной среднеарифметической величины (М), т.е.:

умножив данные отклонения на частоты (n) соответствующих классов (). При правильно вычисленной и округленной величинеМ должно наблюдаться следующее соотношение между величиной и пределом округления М, величина которого в нашем примере равна 0,05:

Напомним, что если значение М записано с точностью до целой величины, то пределом ее округления будет 0,5; при записи М с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 пределами округления соответственно будут 0,05; 0,005; 0,0005.

После вычисления и контроля М определяется величина медианы (Ме) и моды (Мо).

Величина медианы соответствует значению варианты, занимающей срединное место в вариационном ряду последовательного суммирования. Поскольку численность исследуемого ряда равна 208, то следует установить значение диаметра, приближенно соответствующее 104-ой или 105-ой варианте. Медиана определяется по формуле:

где: К - левая граница класса, в котором находится половина накопленных частот

Sk - накопленная частота по границе К;

n - частота данного класса.

В нашем примере:

см

Может быть использован график, на котором изображена огива (рис.1.1). На оси ординат для накопленных частот () находят точку, соответствующую указанной варианте (например, 104), восстанавливают из нее перпендикуляр до пересечения с огивой и из этой точки опускают перпендикуляр до пересечения с осью абсцисс, по которой и отсчитывают искомое значение медианы. В нашем примереМe = 31,2 см.