3. Распределение Пуассона
1) Значения 0,1,2,3,..
2) Параметр
3) ряд распределения даётся равенством:
(2)
,
4) Интерпретация – широко используется в технике, ξ – случайная величина, равная числу наступления некоторого события в зафиксированный отрезок времени, например: число вызовов, поступающих на АТС в минуту, число отказов любого прибора в единицу времени (меняется только λ, а закон распределения тот же самый), настепление редких событий в ед. времени.
4. Геометрическое распределение
Утверждение: (2) действительно задаёт ряд распределения.
Доказательство:
1) значение 1,2,3,...
2) параметры
3) Ряд распределения:
(3)
,k– натуральное,q=1-p
4) Интерпретация – в одном испытании вероятность успеха =p, проводят испытания до первого успеха, например, стреляют до первого попадания, ξ – число испытаний до первого успеха.
Утверждение: (3) действительно задаёт ряд распределения.
Доказательство: положительность очевидна. Докажем, что сумма =1:
Параграф 3. Непрерывные случайные величины
Определение. Пусть дана случайная
величина ξ с функцией распределения
?
Если она может быть представлена в виде:
(1)
,
то
1) ξ – называется непрерывной случайной величиной
2) P(t) = называется плотностью случайной величины ξ
Физический смысл: значения непрерывной случайной величины заполняют полностью некоторый отрезок возможно бесконечный или объединение нескольких отрезков
Пункт 1: свойства плотности распределения
1) (2)
,
где
- плотность случайной величины ξ
2) (3)
3) (4)
Доказательство: (2) сразу получается дифференцированием равенства (1)
Докажем (3):
Докажем (4):
Теорема доказана.
Пункт 2: Пусть ξ – некоторая случайная величина, тогда для любого числа x:
(5)
Доказательство:
Следствие:
(6)
Доказательство:
Четыре первых вероятности отличаются добавлением только по одной или двух точек, что вероятность «точечных» событий равна нулю, поэтому справедливы первые три равенства. Предпоследнее равенство следует из (1.5), а последнее из (1.4).
Пункт 3: Пусть ξ – непрерывная случайная величина, тогда:
(7)
,
,
т.е. плотность всегда неотрицательна.
Доказательство:
1)
2)
Важнейшие непрерывные случайные величины.
Мы рассмотрим случайные величины, которые хорошо моделируют многих реальные процессы и явления.
1. Равномерно распределение.
1) Параметр
2) Плотность распределения
3) (8)
4)
5) вероятность попасть в интервал от aдоbне зависит от его положения внутри отрезка, а зависит от его длины.
Получим функцию распределения используя их свойства:
Мы знаем
,
см.(1)
1 случай)
2 случай)
3 случай)
Построим графики:
2. Показательное или экспоненциальное распределение:
1) Параметр
2)
(10)
3) Функция распределения
4)Интерпретация: экспоненциальное распределение очень хорошо описывает tдо первой поломки иtмежду отказами для очень многих приборов (от утюга до спутника).
Найдём функцию распределения, используя (10)
1 случай)
x<0
2 случай)
x>0
График плотность и функции распределения
3. Распределение Коши
1) параметры –
2) плотность распределения
(12)
3)
(13)
4) Графики
