1) Распределение Бернулли

Значение 0 1

Вероятность qp

q=1-p

(17)

2) Биномиальное распределение

ξ – число успехов при nиспытаниях

P– вероятность успеха в одном испытании

Введём вспомогательную случайную величину

(*)

Тогда ξ – число успехов в nиспытаниях

(**), причём в схеме Бернулли испытания независимы, значит- независимы

Найдём:

Получим:

(18)

3) Распределение Пуассона

Для распределения Пуассона:

,

(19) (Доказать самостоятельно)

4) Геометрическое распределение:

, k =1,2,…

Получим:

(20) (Доказать самостоятельно)

Непрерывные случайные величины

1) Равномерное распределение

Глава II Доверительные интервалы

§1 Основные понятия.

Рассмотрим схематично пример построения оценки.

Допустим на предприятии решили оценить среднесуточное употребление электроэнергии. В плановом отделе посчитали по большой выборке и получили значение = 1536,23 кВт.

Однако очевидно, что употребление, например, завтра, будет отличаться от этой цифры и хотелось бы иметь оценку в виде интервала или нечто подобное.

К сожалению это в принципе невозможно, если оценка строится по выборочным данным и интервал не абсурдно большой.

Единственно, что возможно - это дать ответ в виде интервала, который содержит неизвестное значение с некоторой вероятностью, такой интервал называется доверительным, а оценкаинтервальной, илидоверительно-интервальной.

Вероятность, с которой доверительный интервал содержит неизвестный параметр, называется уровнем доверия интервала.

Обычно уровень доверия выбирают близким к единице: 0,9; 0,95; 0,99; 0995; 0,999

Обычно, чем важнее исследуемое явление, тем выше берут уровень доверия. Например: в экономике берут 0,9 или 0,95; в безопасности и здоровье - 0,99 и выше (при определении предельно-допустимых доз);

Очевидно, чем выше уровень доверия, тем больше длина интервала, при одной и той же выборке, поэтому если необходимо получить достаточно точные оценки при высоком уровне доверия необходимо использовать большие выборки, или выборки большого объема.

Определение (Доверительного интервала)

Пусть дана случайная величина с функцией распределения F(x,θ), где θ - неизвестный параметр и дана выборка объемаn–x₁,x₂, …x_n. Пара случайных величинC^-и С⁺, зависящих от выборки называется доверительным интервалом при уровне доверия γ для параметра θ, если выполняется равенство:

(1)P{θє (C^-;C⁺)} =γ

Иногда используют менее точное соотношение:

(2)P{θє (C^-;C⁺)} >=γ

В некоторых прикладных задачах используют односторонний доверительный интервал, где одна из границ по умолчанию равна +∞ или –∞ (нулю из физического смысла)

Например:при определении предельно-допустимых норм веществ.

§2 Специальные функции математической статистики.

При построении доверительных интервалов и других разделов математической статистики требуется использовать некоторые дополнительные случайные величины, которые мы изучаем в этом параграфе.

1 Распределение Стьюдента

Пусть ξ₀, ξ₁, …, ξ_nподчиняются стандартному нормальному распределению (ξ_i N(0,1)) рассмотрим случайную величину:

По определению ηподчиняется распределению Стьюдента сnстепенями свободы, часто используют обозначенияt_n. Плотность распределения Стьюдента дается формулой:

(1)

можно показать что:

(2) M(t_n) = 0,D(t_n) =n/(n-2) (приn> 2)

При n-> ∞t_n(x) ->N(0,1)

Отметим, что t_n(x) - симметричная или четная функция.