§3 Методы построения точечных оценок параметров.

Метод моментов

Рассматривается следующая задача: дана случайная величина ξ с законом распределения F_ξ(x,θ₁,θ₂,…,θ_k), причем

θ₁,θ₂,…,θ_k- параметры не известные заранее. Дана выборкаx₁,x₂,…,x_nобъемаnи надо построить оценки неизвестных параметров по этой выборке.

мы рассмотрим сначала так называемый метод моментов построения оценок неизвестных параметров.

1 шаг: выписываем к моментов μ_1,μ_2,… μ_n

2 шаг: выписываем соответствующие им выборочные моменты определяемые равенством

(1)

(2)

3 шаг:составляем систему уравнений μ_i=m_iи решаем ее относительно неизвестных параметров

Замечание!Иногда удачно вместо моментов μ_i,m_i использоватьα_i,a_i.

Замечание!!Если на третьем шаге получилась неразрешимая система, то на первом шаге надо добавить новые моменты.

Пример:на потоке неизвестное количество студентов для преподавателя. Он подсчитал, что на 1-ую лекцию пришло 70 студентов на 2-ую -68, на 3-ую – 71, на 4 – 69, на 5-ую - 72. Он по этим данным оценил количество студентов.

Определим и мы это предположение:

1) число студентов - const

2) каждый студент ходит независимо от других, причем вероятность прийти на лекцию одна и та же.

Решение:Сначала решим эту задачу в общем виде, а потом подставим наши конкретные данные.

При сделанных нами предположениях число студентов, пришедших на лекцию случайная величина ξ - подчиняющейся биномиальному распределению с неизвестными параметрами NиP, гдеN- число студентов, которой надо оценить, аP- вероятность прийти на лекцию одного студента.

1шаг

Используем метод моментов

k= 2 <-> (NиP)

мы знаем, что для биномиального распределения

μ₁= μ_ξ=N_p

в соотвествии с замечанием мы используем второй момент α₂

α₂=D_ξ=N_p(1 –P)

первый шаг закончен

2шаг

m₁ = {(1)}=

3шаг

составляем систему уравнений

N_p=

N_p(1 –P) =S²

второе разделим на первое и получим

P^*= 1 –S² /

из первого уравнения находим:

N^*= /P^*

оценим по нашим данным число студентов.

Найдем : = 1/5 * (70 + 68 + 71 + 69 + 72) = 70

S²= 1/ 5 * ((70 – 70)²+ 2²+ 1²+ 1²+ 2²) = 10/5 = 2

По формуле (3)находим

P^*= 1 –S²/ = 1 – 2 / 70 = 68 / 70 = 34 / 55

N^*= 70 / (34 / 35) = (35 * 70) / 34 ≈ 72,06

значит на потоке 72 студента приблизительно.

Найдем методом моментов оценки параметров нескольких важнейших распределений.

Экспоненциальное распределение. Один неизвестный параметр – μ

к = 1

1шаг μ₁=M_ξ= 1 /μ

2шаг m₁=

3шаг 1/μ = =>

(4) μ^*= 1/x

* - означает оценку соответствующего параметра

Метод максимального подобия построения оценок.

Дана случайная величина ξ с F_ξ(x,Q₁,…,Q₂) дана выборка и необходимо построить оценки неизвестных параметровQ^*_1,Q^*₂,…,Q^*_k.

Для описания метода определим функция правдоподобия.

Определение.Пусть ξ - непрерывная случайная величина с плотностью распределенияP_ξ(x,Q₁,…,Q₂).

Функция правдоподобия Г определяется равенством:

(5)

Для дискретной случайной величины с рядом распределения P_ξ(x,Q₁,…,Q₂) аналогично:

(6)

Определим логарифмическую функцию правдоподобия:

(7)

Перейдем к описанию метода:

1шаг:записываем функцию правдоподобия γ для следующей величины ξ и затем логарифмируем функцию правдоподобия

2шаг:находим производные

3шаг:находим значенияθ^*₁, …θ^*_k, дающие максимум функцииL, решая систему:

(8)

Замечание!

Таким образом, суть метода максимального подобия - взять за оценки такие θ^*₁, …θ^*_k, которые дают максимум функции правдоподобия Г. Обычно это удобно делать

при помощи введения функции Lи решения системы(8). Но иногда находят максимум непосредственно по функции Г, используя численные методы.