§3 Примеры вероятностных пространств.

Геометрические вероятности

Пусть Ω представлено в виде некоторой геометрической фигуры и пусть для любого А (событие) вероятность его наступления зависит только от размера А и не зависит от его местоположения внутри Ω, тогда вероятность события А даётся формулой:

(1) , где μ – длина, если Ω отрезок или линия

μ – площадь, если Ω – часть поверхности

μ – объём, если Ω - часть пространства.

Многие задачи, внешне далёкие от геометрии реализуются при помощи(1). Например: 1) м/у пунктами А и Б – 10 км телефонной линии, на линии произошёл обрыв, из пункта А выехала бригада монтёров со V=5км/ч, найти вероятность того, что обрыв будет найден в течение ½ часа.

Решение:

2) Два студента назначили встречу с 12 до 13, причём каждый пришедший ждёт другого 20 мин и уходит, считая, что приход каждого равновозможен в любой момент времени с 12 до 13, найти вероятность того, что они встретятся.

х – первый студент (время)

y– второй студент.

Событие А={встреча произошла}={(x,y):|x-y|≤20}

(легко видеть, что это полоса см.рис.)

§4 Условные вероятности. Формула умножения событий.

Рассмотрим следующий пример. Задача: Игральную кость подбросили 1 раз и известно, что выпало чётно число очков. Найти вероятность того, что выпало 6 очков.

Ответ: 1/3.

Определение: Пусть даны 2 события А и Б. вероятность наступления события А при условии, что произошло событие Б даётся формулой:

,

Вычислим вероятность того, что выпало 6 очков при условии, что известно, что число очков чётное.

A– {выпало 6 очков}={6}

B– {2,4,6}; | Ω |=6;A∙B=A={6}

Мы види, что (1) даёт определение, согласующееся с практикой.

Утверждение 1:

– действительно вероятность. Для доказательства нам надо проверить справедливость аксиом А1 – А3.

А1 (аксиома неотрицательности)

Очевидно следует из (1), т.к. числитель и знаменатель неотрицательны.

Проверим А2:

Проверим А3:

Пусть С и Д – несовместны, тогда:

Все аксиомы выполнены, утверждение доказано.

Утверждение 2:

(2) очевидно из (1)

П. (формула умножения событий) Пусть даны события А1, А2, … , Аn, тогда

Докажем индукцией по n.

При n=2. Пусть доказано дляn. Докажем для (n+1). Определим А1,А2,...,Аn.

Запишем

= {по предположению для индукции доказано дляn}=

=

Доказали по индукции.

Пример: Даны карточки с буквами: три с буквой А, 2 с буквой Н, 1 – с С. Карточки перетасовывают и раскладывают не глядя в ряд. Найти вероятность, что получитсья слово АНАНАС.

Решение: используем формулу умножения. Для этого введём событие B– получилось слово АНАНАС. А1 – первая карточка с буковой А, А2 – вторая карточка с буквой Н, и т.д.

B= А1∙ А2∙ А3∙ А4∙ А5∙ А6.

Рассмотрим некоторое простейшее свойство. Если А и Б несовместны, то

§5 Независимые и зависимые события.

Определение:Пусть даны 2 события А и Б. Они незываются независимыми, если выполняется равенство:

(1)

В противном случае они называются зависимыми.

Физический смысл6

Независимость событий означает, что наступление одного события никак не влияет на наступление другого события. Другими словами: наступление одного события не несёт никаких сведений о наступлении других.

Пример: 1) Подбрасываем игральную кость. События:

А – выпало 6 очков

Б – выпало 3 очка

Проверим, зависимы ли эти события:

А∙Б=0; Р(АБ)=?Р(А)∙Р(Б); Р(АБ)≠Р(А)Р(Б)=1/6 => события зависимые

2) Монету подбрасывают 2 раза.

А – первый раз выпал герб

Б – второй раз выпал герб

Проверим, зависимы ли эти события:

Ω={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}

А={ГГ, ГЦ}

Б={ГГ,ЦГ}

АБ={ГГ}

Р(А)=Р(Б)=2/4=1/2

Р(АБ)=1/4

Р(АБ)=А(А)Р(Б) => события независимы.

Утверждение 1: Свойство независимых событий

Если А и Б независимы, то

1. неА, Б – независимы

2. А, неБ – независимы

3. неА, неБ – независимы

Докажем 1):

, 1) доказано

2) – аналогично

Докажем 3):

Утверждение 2: Если А и Б независимы, то:

Доказательство: