Генерирование случайной величины подчиняющейся нормальному распределению.

Известен следующий факт: Сумма одинаково распределенных случайных величин ≈ подчиняется нормальному распределению, чем > слагаемых, тем лучше приближение.

M_ξ = a, D_ξ = δ²

На этом основан следующий метод генерирования нормально распределенный случайной величины

{M_η= ½,D_η= 1/12 для равномерного распределения на [0,1]}

Из практики известно, что при 6 слагаемых получается достаточное приближение.

Иногда используют аналогичный метод для 12 слагаемых

η- способ генерирования нормального распределения с параметрами [0,1]

(0,5) - параметры, они получаются из стандартного нормального распределения:

(3) ξ_{норм (0,5)}= а + δ²* ξ_{норм (0,1)}

(действительно проверим (3)):

Для стандартного нормального распределения:

Mξ_{норм (0,1)}= 0,Dξ_{норм (0,1)}= 1

отсюда:

M(ξ_{норм (а,δ)})= {(3)}=a+δM(ξ_{норм (0,1)}) = а

D(ξ_{норм (а, δ)}) =D(a) +D(δξ_{норм (0,1)}) = δ²*D(ξ_{норм (0,1)}) = δ²

генерирование (равномерного распределения) случайной величины на отрезке [a,b]

(4) ξ_{равн (a,b)} = a + η (b – a)

§4 Генерирование траекторий случайных процессов.

Сначала рассмотрим Марковские цепи с дискретным t.

Пусть дана некоторая система, которая описывается матрицей переходов

необходимо генерировать траектории переходов этой системы от одного момента t₀к другому, считая, чтоP⁰= (P⁰₁,P⁰₂,…P⁰_k) - начальный моментt.

Необходимо генерировать траекторию вида S_i0,S_i1, …S_iT. Это означает, что в начальный моментtсистема была вi₀, потом перешла вi₁ и т.д.

Генерирование траектории сводится к генерированию значений дискретных случайных величин. Для того чтобы найти состояние в нулевой момент t, генерируем случайную величину:

Значения	S1	S2	…	Sk
Вероятности	P01	P02	…	P0k

Пусть в нулевой момент tсистема находится вS_iдля того чтобы определить в какое состояние система перейдет в следующий момент времени генерируем дискретные случайные величины.

Значения	S1	S2	…	Sk
Вероятности	P0i01	P0i02	…	P0i0k

Пусть система перешла в состояние S_i1, переход в следующее состояние определяется аналогично при помощи строчкиi₁матрицыP.

Анализ больших (длинных) траекторий позволяет оценить интересующие нас характеристики, в частности, связанными с предельными вероятностями, точнее предельные вероятности могут быть оценены следующим образом:

П_i=ν_i/T, где

Т - длина траектории

ν_i- количество моментов времени, когда траектория находилась в состоянииS_i.

Пример:Пусть в некотором вузе студенты могут получать обычную стипендиюS₁, повышеннуюS₂и не получатьS_n.

Пусть матрица переходов имеет следующий вид

Пусть также известно начальное распределение вероятности (0; 0,8; 0,2)

Допустим некто решил оценить средний размер стипендии за все годы обучения, для этого достаточно генерировать много траекторий вида: S_i0,S_i1, …S_i9.

для каждой из них вычислить средний размер стипендии, затем это можно, вычислить для многих траекторий и усреднить.

Генерирование траекторий непрерывных случайных величин.

Мы будем рассматривать системы, которые описываются Марковскими процессами с непрерывным временем.

Пусть состояния системы (S₁,S₂,…S_k),λ_ij- интенсивность перехода изi-того состояние вj-тое.i≠j.

λ_i- интенсивность выхода изi-того состояния

Тогда вероятность перехода из i-того стояния определяется равенством:

P_ij=λ_ij/Σλ_ij

Затем после перехода в состояние S_j определяется время пребывания в этом состоянии, которое подчиняется экспоненциальному распределению с параметром λ_i.

Пример: Интенсивность вызовов в телефонном справочном бюро равнаλ, продолжительность 1 разговора подчиняется экспоненциальному распределению с параметром μ. Требуется определить долю времени, когда телефон занят.

Решение: будем генерировать длинные траектории, характеризующие этот процесс и по ним оценим нужную нам характеристику.

τ_i - подчиняется экспоненциальному распределению с параметром μ и генерируется при помощи (3.2).

t_i- генерируется при помощи экспоненциального распределения с параметром 1/λ.

Пусть мы генерировали большую траекторию длины T, тогда доля времени, когда телефон занят равна Στ_i/T, аналогично находятся и другие характеристики.

Возможно, также моделировать процессы с непрерывным временем при помощи дискретных Марковских цепей. Это делается следующим образом: берем маленький отрезок времени δ и считаем, что все переходы проходят в моменты кратные δ. Считаем, что вероятность перехода из состояния S_iвS_jза время δ дается равенством:

P_ij=λ_ijδ

дальше моделируем этот процесс, как Марковскую цепь с матрицей.P= (P_ij)