§2 Предельные теоремы Бернулли

Пример: Пусть известно, что бракованная деталь выпускается с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что из 100 выпущенных деталей будет 20 бракованных.

По формуле 1.1 находим

Мы видим, что вычисления гигантские, причём они нужны с высокой точностью, поэтому возникает задача нахождения ≈ формул используемых при большом числе испытаний.

Такие формулы были найдены в 186… иногда они называются предельными теоремами. Мы будем их формулировать в виде, удобном для вычисления:

Теорема Муавра-Лапласа или Локальная формула Лапласа

Пусть проводится nиспытаний по схеме Бернулли иp– верятность успеха в одном испытании. Пусть nвелико (> нескольких десятков), аpочень мало, так, что выполняется неравенство:

1. npq>9

тогда справедливо равенство, называемое формулой Лапласа:

(2) , где,, иq=1-p

Без Доказательства!

Замечание: Неравенство (1) – условное, вообще говоря, чем больше npqиP, тем приближение (2) более точно.

Вычислим вероятность для нашего примера используя (2):

Неравенство (1) выполняется, поэтому можно использовать (2).

Вычисляем:

2. существенно экономит вычисления.

Формула Лапласа или интегральная формула Лапласа

Пусть выполнены все условия Пункта 1, тогда справедливо примерное равенство:

(3) , где,,,Ф₀– функция Лапласа:

(*)без доказательства!

Замечание: интеграл в (*) неберущийся, поэтому существуют специальные таблицы для того, чтобы пользоваться (3) надо знать 2 cв-ва функции Лапласа:

(4) - начётная функция

(5) , т.е. приx>5 f₀(x)≈0,5.

Замечание:

В некоторых учебниках используется Ф(x)=(**)

(**)

В этом случае также справедлива (3), однако (4) и (5) не выполняются и вместо (5):

(5’) без доказательства!

987

Следствие из интегральной формулы Лапласа:

Пусть выполнены условия из пункта 2 и теоремы 1, т.е. n-велико. Во многих задачах необходимо оценить отклонение частоты успеха (ν) от теоретической вероятности успехаP, где:

(7) , для этого используется следующее равенство:

Пусть дано некоторое ε>0и проводится испытание по схеме Бернулли, тогда:

(6)

Это равенство справедливо только для Ф₀и несправедливо дляФ, смотри (**).

Докажем 6:

Вероятность

- доказано

Физический смысл:

(6) часто называется законом больших чисел в схеме Бернулли и формулируется в виде:

(7)

Действительно:

Из (7) мы видим, что при любом даже очень маленьком εи большомn, частотаk/nбудет отличаться отpменьше чем на ε.

На этом законе базируется возможность планировать работу больниц (действительно в большом городе доля дольных практически одна и та же) вообще без выполнения этого закона невозможна была бы работа транспортных компаний, т.к. доля желающих уехать одна и та же.

До сих пор мы рассматривали случаи когда pиqне очень малы иnвелико. В том случае, когдаn–велико, аp– очень мало также существуют приближённые формулы.

Пункт 3: формула Пуассона

Пусть проводится nиспытаний по схеме Бернулли,n– велико (>100), аp– мало так, чтоnp<3(8)? Тогда справедлива формула:

(9) - формула Пуассона

,e– число Эйлера.

Глава 3. Случайные величины.