Глава III Проверка статистических гипотез.

§1 Основные понятия и терминологии.

Многие задачи и проблемы реальной жизни могут быть сформулированы как гипотезы.

Например:до нового года курс доллара достигнет 40 рублей; работа за компьютером более 5 часов в день приводит к близорукости через 2 года.

Многие гипотезы такого типа проверяются по экспериментальным данным, базируясь на методах математической статистики и теории вероятности.

Однако математическая статистика изучает не вообще всякие гипотезы, а только те которые могут быть сформулированы как предположение о параметрах законов распределения, в том числе и многомерных (включая предположение, взаимной зависимости случайных величин).

В математической статистике гипотеза обычно обозначается как: H₀,H₁,H₂…

Например:

H₀= {доля студентов ни разу не пересдававших экзамен на курсе не меньше}

H₁= {рост студентов подчиняется нормальному распределению}

H₂= {чемпион мира по шахматам будет Каспаров}

H₀- можно точно сказать, что статистическая

H₁- можно уточнить

H₂- не статистическая

Определение.Статистическая гипотеза называется простой, если она касается только одного параметра, а все остальные параметры распределения неизвестны. В противном случае гипотеза называется сложной.

Пример:

H₀= доля студентов, посвящающих лекции по математике = 0, 9

H₁= время работы телевизора подчиняется экспоненциальному распределению сλ= 1/4

H₂= вес студентов 2-ого курса подчиняется нормальному распределению ≈ 70 кг

Решение:

H₀- при небольшом уточнении может рассматриваться как простая, при условии, что второй параметр - число студентов на потоке - известен

H₁- простая, потому что всего один параметр

H₂- сложная гипотеза, т. к. у нормального распределения 2 параметра и о значении 2-го ничего не известно.

Статистическая гипотеза проверяется по выборочным данным, которые обозначаются через x₁,x₂, …,x_n.

При проверке статистических гипотез обычно используется следующая схема: рассматривают 2 гипотезы H₀иH₁, взаимно исключающие друг друга, причемH₀=(H₁=). Одна из гипотез обычно обозначаемая черезH₀называетсяосновной, а другая называетсяальтернативной. По результатам наблюдений, т.е. по выборке надо принять одно из двух решений:

1) гипотеза H₀принимается (H₁- отвергаются)

2) гипотеза H₀отвергается в пользуH₁.

Например:

гипотеза H₀= {доля студентов, которые за 5 лет не пересдавали экзамены > 0, 6},H₁= {…<=0,6}

При проверке статистических гипотез возможны ошибки двух типов:

Ошибка первого рода:

выполняется гипотеза H₀, а на основе данных принята гипотезаH₁.

Ошибка второго рода:

выполняется гипотеза H1, а на основе данных принята гипотезаH₀.

Схематический пример:

Пациент пришел на прием к врачу. H₀= {пациент здоров},H₁= {пациент болен}. Ошибка первого рода происходит, если здорового приняли за больного, ошибка второго рода - если на оборот.

Сама процедура проверки гипотез по выборочным данным называется статистическим критерием, при этом всем множество возможных (выборочных) значений разбивается на две части

при этом S₀∩S₁= иS₀US₁= множество всех возможных значений.

Если (x₁,x₂, …,x_n) єS₀, то принимаемH₀

Если (x₁,x₂, …,x_n) єS₁, то отвергаем в пользуH₁, эта схема проверки статистических гипотез

Само правило называется статистическим критерием.

Конечно, хотелось бы сделать вероятность обеих ошибок (1-го и 2-го рода) маленькой. Однако это не всегда возможно, что определяется сутью дела. Потому что при малых объемах выборки мы имеем мало информации по изучаемой случайной величине.

В математической статистике принята следующая схема:

1) Вероятность ошибки первого рода обычно заранее фиксируется, как правило, она обозначается через α и называется уровнем значимости критерия.

Другими словами:

(1)α =P{x₁,x₂, …,x_n}єS₁{H₀- истина}

2) Величина ошибки второго рода обозначается через β:

(2)β =P{x₁,x₂, …,x_n}єS₀{H₁- истина}

величина (1 - β) - мощность критерия

В математической статистике стараются находить критерии, которые при фиксированном α обладают > мощностью (т.е. ошибка 1-го рода фиксирована,. а величина ошибки 2-го - наименьшая).

Обычно уровень значимости α= 0,05; 0,01 или 0,005 (или меньше), причем его величина зависит от важности задачи; в медицине маленький, в экономике и технике 0,05.