§5 Проверка гипотеза о достоверности различий средних значений.

Во многих практических ситуациях возникает задача определения (сравнения) характеристики двух генеральных совокупностей, для решения которых используются выборочные данные.

Например:Пусть оказалось, что средний рост 100 студентов в Новосибирске 180 см, а в Норильске - 177 можно ли это объяснить случайными причинами или нет.

Задачи такого типа называются: “проверка гипотез о достоверности разности средних”

1. Проверка гипотезы о различии средних значений двух случайных величинξиηв случае, когда дисперсииξиηизвестны. Точнее даны две случайные величины, подчиняющееся нормальному распределению. ДисперсияD_ξ =δ_x²,D_η=δ_y²а генеральное среднееa_xиa_y- не известны.

Надо проверить гипотезу.

H₀= {a_x=a_y} противH₁= {a_x≠a_y}

при этом имеется две выборки

x₁,x₂, … ,x_n- значение случайной величиныξиy₁,y₂, …,y_m - значение случайной величиныη.

Утверждение 1. Случайная величина:

(*)

приближенно подчиняется стандартному нормальному распределению

Из рисунка видно, что вероятность:

(**)

Из (*)и(**)получаем критерий:

если, то гипотезаH₀= {a_x=a_y} принимается.

Если (1)не выполняется, то гипотезаH₀отвергается в пользуH₁.

Здесь α- уровень значимости критерия.

2Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних в случае, когда дисперсии не известны.

Даны две случайные величины ξиη, генеральные средние у нихa_xиa_y, генеральные дисперсииδ_x²иδ_y². Все характеристики неизвестны. Надо проверитьH₀ противH_1.

Критерий основан на следующем факте:

Утвеждение!Случайная величина

(2)приближенно подчиняется распределению Стьюдента с (n+m- 2) степенями свободы, при растущихmиn:ξ~t_{n + m - 2}

Совершенно аналогично предыдущему случаю получаем критерий:

(3) если

то гипотеза H₀= {a_x=a_y} принимаются, иначеH₀отвергается в пользуH₁.

Здесь - выборочное среднее

α - уровень значимости

- квантиль распределения Стьюдента.

- выборочные дисперсии случайных величинξиη

Задача:При статистическом обследовании 100 случайно выбранных студентов 2-го курса в городе их рост ≈ 180 см, а при обследовании 70 студентов из Норильска их рост ≈ 177 см, по выборочным данным также посчитали, что:

проверить по этим данным: можно ли считать различие в росте случайным.

Решение:

сформулируем H₀= {a_x=a_y} против альтернативыH₁= {a_x≠a_y}.

Возьмем α = 0,05 и используем критерий (3):

4,6 > 1,97

Следовательно, различия нельзя считать случайными, и они вызваны некоторым факторами.

Замечание (о распределении Стьюдента):

Мы знаем, что распределение Стьюдента асимптотически -> к стандартному нормальному при увеличении n, поэтому при большомn, в таблицах смотреть про нормальное стандартное распределение.

§6 Критерий к. Пирсона. Хи-квадрат для проверки гипотез о законе распределения.

Во многих ситуациях необходимо проверять гипотезы не о значениях распределения, а о законе распределения в целом, для этого и используется критерий хи-квадрат. Перейдем к точной постановке:

дана некоторая случайная величина ξ, закон распределения которой точно не известен и выборка x₁,x₂…x_n, состоящая изnнезависимых реализаций этой случайной величины. Необходимо проверить гипотезуH₀= {ξподчиняется распределению сF(x,θ₁,θ₂, …,θ_k},

где θ₁,θ₂, …,θ_kнеизвестные параметры, против альтернативной гипотезы

H₁= {ξне подчиняется распределению сF(x,θ₁,θ₂, …,θ_k}

К. Пирсон предложил статистический критерий для проверки H₀противH₁.

1) шаг(может отсутствовать) оцениваем методом maxправдоподобия неизвестные параметрыθ₁,θ₂, …,θ_k, и полученные оценки обозначимθ₁^*,θ₂^*, …,θ_k^*

2) шаг разбиваем область значений параметра на Rинтервалов следующим образом:

y₀ = -∞y_r= ∞ Интервалы [y₀,y₁], (y₁,y₂] … (y_{r – 1},y_r] должны не пересекаться и должны содержать всю область возможных значенийξ

3) шаг: вычисляем так называемые теоретические вероятности

(1) P_i=P{ξє (y_{i – 1},y_i]} вероятность того, что случайная величина попала вi-ый интервал.

для неправильных случайных величин можно использовать равенство:

(2) P_i=F(y_i,θ₁^*,θ₂^*, …,θ_k^*) -F(y_{i - 1},θ₁^*,θ₂^*, …,θ_k^*)F(B) –F(A)

4) шаг: (укрупнение частот) Проверяем для вычислимых теоретических вероятностей:

(3)nP_i>= 5

Если при каком-то i(3)не выполняется, то этот класс присоединяется к одному из последних, и соответствующий интервал (y_{i – 1},y_i] объединяется с соответствующим соседним.

5) шаг:

- вычисляем эмпирические частотыследующим образом:

(4)ν = {число элементов в выборке попавших в интервал (y_{i – 1},y_i]}

6)шаг: вычисляем

(5)и проверяем гипотезу:

если, x²<χ²_{r – k – 1; 1 -α}, то принимается гипотезаH₀, иначеH₀отвергается в пользуH₁.

Здесь χ²_{r – k – 1; 1 -α}- квантиль распределения хи-квадрат с (r–k– 1) числом степеней свободы.

α- уровень значимости критерия

Данный критерий основывается на следующем:

Теорема:величинаx², вычисленная по(5)ассимтотически, при большихn, подчиняется распределениюχ²с (r–k– 1) степенями свободы (без доказательства).

На этой теореме основан критерий.

Если гипотеза H₀не выполнена то, хотя бы при некоторыхi,ν_iдолжно сильно отличаться отnP_i, и величинаx² будет принимать большое значение:

Если H₀выполнена, тоM(ν_i) =nP_iи величинаx² должна быть относительно не большой, т.е еслиx² в(5)принимает относительно небольшие значения, то надо приниматьH₀, в противном случае, когдаx²принимает большие значения,H₀отклоняется, это и показано на рисунке.

Замечание!(5)и число классов подсчитываются после укрупнения интервалов на четвертом шаге.

Замечание!!В некоторых учебниках вместо(3)приводят неравенствоn*p_i> 3 и т. п.

Пример:В комнате общежития живут четыре студента. Они решили проводить уборку по жребию, причем жеребьевку всегда проводил студент после 40 - жеребьевок студент подсчитал чтоA– 2 р. Б – 12р. В – 16р. Г – 10р.

Надо проверить по этим данным, что жеребьевка проводилась честно.

Сформулируем гипотезу точно:

H₀ = {P_A=P_Б=P_В =P_Г= ¼}, где

P_S- вероятность дежурства студентаS, противH₁=. Выборка из 40 элементов

Даны четыре класса (шаг 1 отстутсвует)

Третий шаг:-P_A= ¼ =P_Б=P_В =P_Г

Четвертый шаг- проверим неравенство(3):

P*P_i= 40 * ¼ = 10 > 5

укрупнять интервалы не требуется.

Пятый шаг- дано, чтоν_А= 2,ν_Б=12,ν_В= 16, ν_Г= 10

Шестой шаг- вычисляемx²

Так как этот вопрос связан с честью студента, то мы берем высокий уровень значимости 0,01.

χ²_{4 – 0 – 1; 0,99} ≈ 7,815, т.к

10,4 >> 7,815 Мы отвергаем гипотезу, что жеребьевка проводилась честно.