Глава 1. События.

§1 Логические основы т.В.

Т.В. занимается изучением случайных явлений и процессов. Часто вместо случайных используют слово стохастических . Условно все окружающие нас процессы и явления можно разбить на детерминированные (определенные) и случайные (стохастические). К детерминированным можно отнести движение планет солнечной системы. Здесь можно предсказать поведение солнечной системы с точностью до секунды на десятки лет. Примеры случайных процессов: передвижение от дома до института, здесь продолжительность непредсказуема, продолжительность работоспособности прибора, оценка на экзамен и т.д.

При разработке и эксплуатации некоторых систем необходимо учитывать, что они описываются случайными величинами, поэтому Т.В. изучается во всех Втузах и имеет большое значение.

Однако, Т.В. изучает не любые случайные явления, а только те, которые хотя бы в принципе могут быть повторены много раз, например: утверждение типа: “Лужков станет президентом с вероятностью 0,7” неверно, точнее здесь не применима Т.В. , он или станет или не станет, этот опыт в принципе не может быть воспроизведен много раз.

Т.В. как математическая и как научная дисциплина возникла в средние века, когда в Европе стали популярны азартные игры (карты, кости….). Примерно в то же время был открыт закон “постоянства частот”. Суть этого закона в следующем: П: подбрасывание игральной кости, монеты и т.п. и рассматривается некоторое событие А, которое может произойти или не произойти в результате этого опыта; пусть опыт проводится nраз и черезn_Aобозначим число наступления события А. Еслиnвелико, то величинаn_A/n, называемая частотой события, принимает примерно одно событие, для любой серии испытания.

П: в 19 в. Проводились специальные эксперименты по проверке этого закона.

Некто подбрасывал монету 10000 раз и подсчитывал выпадение герба в каждой тысяче, начиная с первой.

1 – 510

2 – 483 и т.д.

N_герб/1000 ≈ 0.5

В дальнейшем мы будем говорить о вероятности событий.

Физический смысл вероятности – частота наступления события в серии испытаний.

§2 Испытания, события, операции над событиями.

Определение:Опытилииспытание– это некоторая совокупность действий, которая проводится при некоторых условиях.

П: подбрасывание кости, раздача карт тасованных и т.д.

С опытом обычно связывают некоторые случайные события, которые могут произойти или не произойти. Например при подбрасывании игральной кости выпадало 6 очков.

Рассматриваются два особых события:

- достоверное, которое происходит при каждом испытании.

- невозможное, которое не происходит при любом испытании.

Ω – достоверное О – невозможное

Опр.:Пусть проводится некоторый опыт или испытание;пространством элементарных исходовназывается максимально возможное множество исходов этого опыта, взаимно исключающих друг друга, оно обозначается через Ω – большое.

П.:

1. Опыт: игральную кость подбрасывают один раз

Ω ={ω₁,ω₂,ω₃,…,ω₆}

Ω_i– элементарный исход. Выпалоi– очков.

2. Некто решил покупать лотерею, пока не попадется выигрышный билет, в этом случае пространство элементарных исходов можно представить в следующем виде:

Ω = {B,HB,HHB,HHHB,…}

Здесь пространство экспериментальных исходов бесконечно, счетно.

3. Проводится учебное бомбометание по цели. Поместим цель в начало координат.

здесь элементарный исход любая точка на плоскости. Ω = все точки плоскости. Здесь Ω бесконечно и несчетно.

События

Определение:Математическая модель события– некоторое подмножество пространственных элементарных исходов (в случае когда ПЭИ не счетное множество, это определение нуждается в некотором уточнении).

Пр.:

1. Событие A– выпало четное число очков

Событие B– выпало число очков/3

Надо представить их как подмножество Ω.

A= {ω₂,ω₄,ω₆}B= {ω₃,ω₆}

2. Событие A– некто купил менее 4 билетов

A= {B,HB,HHB}

3. Событие A- бомба отклонилась от линии не более 5 м.

A= {(x,y): }

Операции над событиями.

1. Сумма событий.

Пусть даны два события AиB, которые связаны с проведением одного испытания.

По определению C=A+Bпроисходит когда илиA, илиBоба вместе.

На языке теории множеств сумма собственная соответствует Vмножеств.

Пр.:

1. A– четное

B – делится на 3

C = A + B = {ω₂, ω₃, ω₄, ω₆}

Пусть даны события A₁,A₂, …,A_n,..

C= ∑^∞_i=1A_iпроисходит тогда, когда происходит

хотя бы одно событие из A_i

2. Умножение событий.

Пусть даны два события AиB,

C=A*B– происходит тогда, когда одновременно происходят

события AиB.

На языке теории множеств произведение событий соответствует пересечению множеств.

П.: C=A*B= {} (с игровой костью)

Если A₁,A₂, …,A_n,…

C= П^∞_i=1 A_i- происходит тогда, когда одновременно наступают

все A_i.

3. Разность событий.

A,B– события;

C=A\B– происходит тогда, когда событиеAнаступает, аDне наступает

C = A \ B = {ω₂, ω₄}

4. Отрицание

A– событие;

По определению его отрицание A^¯ происходит тогда, когдаAне наступает, иногда обозначают ¬A.

A^¯ = {ω₁, ω₃, ω₅}

Очевидно: A^¯ = Ω \ A

Отношения между событиями

1. Отношение следования

A,B– события;

A=>B, говорят, что изAследуетB, когда появлениеAвлечет за собойB. На языке теории множествAподмножествоB.

Пр.: A– “4” на экзамене;

B– студент сдал;

B– {3,4,5};

A– {4};

2. Эквивалентность событий

ABони эквивалентны, еслиA=>Bи изB=>A.

3. Пусть AиB. Они не совместны, если не могут произойти

одновременно при одном испытании. На языке теории

множеств это означает, что у них нет общих элементов.

Пр.: A= {число четных элементов}

B= {делящихся на 3}

C= {выпадение 5 очков}

Определение: Пусть даны событияA₁,A₂,…,A_n,…, они образуют полную группу попарнонесовместныхсобытий, если выполнено два условия:

1. A₁+A₂+…+A_n=Ω, т.е. их сумма образует достоверное событие, равное пространству элементарных исходов.

2. A_iиA_j не совместны (i<>j).

Алгебра событий.

1. A*B = O

2. A*O = O

3. A*Ω = A

4. A+Ω = Ω

5. A+O=A

6. (A+B)*C=A*C+B*C(проверить самостоятельно)

7. ¬(A+B) = ¬A*¬B(проверить на событиях с игральной костью)

8. ¬(A*B) = ¬(A+B)