§3 Классическое определение вероятности.

Определение: Пусть дано испытание пространственных элементарных

исходов Ω.

Пусть известно, что наступление всех элементарных

исходов равновозможно или равновероятно; тогда для

любого события Aего вероятность определяется:

1. P(A) = |A| / |Ω|, где |A| - число элементов вA.

Равновозможность, или равновероятность обычно определяется из физического смысла.

Очевидно, что Ω – конечное множество.

Замечание !

Иногда используют обозначение:

(1´) P(A) =N(A) /N(Ω),P(A) =m/n

Пр.: Даны карточки с буквами: К, О, Т, их перемешивают и не глядя раскладывают в ряд. Найти вероятность того, что получится остысленное слово.

Решение:

Ω = {кот, кто, окт, отк, ток, тко}

Пусть A– получилось осмысленное слово.

A= {кот, кто, ток}

Из физического смысла очевидно, что все исходы Ω равновозможны или равновероятны.

Поэтому используем (1):

P(A) = 3/6 = 1/2

Физический смысл: если, этот опыт повторять много раз, то в 1/2 случаев получится осмысленное слово.

Во многих важных случаях Ω – большое множество и выписать его элементы не возможно, да и не нужно, т.к. требуется знать только число элементов в множестве. Для нахождения числа элементов используют комбинаторные формулы и элементы. Мы рассмотрим несколько формул для нахождения числа элементов в множестве. Важнейшая из них называется “принцип умножения”.

Пусть даны (k) различных опытов или испытаний. Пусть в первом возможноn– исходов. Рассмотрим большой опыт, состоящий из последовательностей и испытаний. Тогда число исходов этого опыта(N) задается равенством:

2. N = n₁*n₂*,,,*n_k

Пр.: в доме 3 подъезда

5 этажей

4 квартиры

Некто знает, что его друг живет в этом доме, но забыл номер квартиры. Тогда он наугад решил позвонить в первую квартиру. Нацти вероятность того, что он попадет к другу.

Решение:

Можно воспользоваться (1). Найдем |Ω|, здесь проводится три испытания (k=3), выбор подъезда, этажа, квартиры.

n₁= 3,n₂= 5,n₃= 4

|Ω| = 3*5*4 = 60

|A| = 1 (квартира где живет друг)

P(A) = 1/60

Другая полезная комбинаторная величина – число сочетаний.

Пусть дано n– различных объектов, из которых отбираютm– объектов. Тогда число различных способов выбора подмножеств обозначается черезC_n^m и может быть найдено по формуле:

(3) C_n^m=n!/(m!*(n-m)!);

Где S! =S*(S-1)*(S-2)…2*1; 0! = 1 (по определению)

C_n^m– число сочетаний, в некоторых книгах обозначается (_n^m).

Пр.: {1..5}. Найдем число подмножеств из трех элементов.

Очевидно: C₅³ = (5*4*3*2*1)/(3*2*1*2*1) = 10

Рассмотрим следующую задачу на вычисление вероятности.

Дано: N– объектов

Mиз них обладают некоторым свойством.

Из всего множества Nотбирают случайноn– штук. Обозначим через:

P_N,M(n,m) – вероятность того, что среди отобранных оказалосьm– объектов, обладающих одним свойством,

3. P_{N, M}(n, m) = (C_M^m * C_N-M^n-m) / C_Nⁿ

Пр.: Найти вероятность выигрыша в игре ”5 из 36”

Решение: N= 36M= 5

n= 5m= 5

По формуле (4): P_{36, 5}(5, 5) =C₅⁵*C₃₁⁰/C₃₆⁵= (5!/(5!*0!))*(31!/(0!*31!))/(36!/(5!*31!))= 1/376992 (играть не стоит)

Докажем (4), используется принцип умножения:

|Ω| = C_Nⁿ, что следует из определения числа сочетаний.

Чтобы произошло событие “m–обладает заданным свойством среди отобранных“;mизMможет быть отобраноC_M^mспособами; (n-m) – элементов, не обладающих свойством (N-M) может быть отобраноC_N-M^n-m, то по принципу умножения получается:

|A| = C_M^m * C_N-M^n-m

Из (1) получаем: P(A) =P_N,M(n,m) =C_M^m*C_N-M^n-m/C_Nⁿ

4. – доказана!

В настоящее время используется много различных вероятностных пространств не описываемых классической схемой (1), для их задания используют так называемый аксиоматический подход.

Общее определение вероятности (аксиоматическое задание):

Пусть задано множество Ω, на его подмножествах определена функция P, она называется вероятностью, если выполнены 3 следующие свойства или аксиомы:

A1:P(A) ≥ 0 *AcΩ(аксиома неотрицательности)

A2:P(Ω) = 1 (аксиома нормированности)

A3: Если два событияAиBнесовместны , т.е. соответствующие им подмножества не имеют общих элементов, то:

P(A+B) =P(A) +P(B) (аксиома аддитивности)

Упр: проверить выполнение всех аксиом для классического определения вероятности.

П.: (основные свойства вероятности)

(5) 0 ≤ P(A) ≤ 1 *A

(6) P(A¯) = 1 – P(A)

(7) P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A*B)

(7´) P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A*B) - P(A*C) – P(B*C) +

+ P(A*B*C)

Доказательство: мы будем доказывать свойства (5) – (7), используя аксиомы A1 –A3.

Левое неравенство в (5) следует из A1, докажем (6), а затем правое неравенство в (5).

1 = {A2} = P(Ω) = P(A+A¯) = {A и A¯ не совместны с A3} = P(A) + P(A¯); P(A) + P(A¯) = 1; из этого следует (6): P(A) = 1 – P(A¯), P(A¯) ≥ 0 => P(A) ≤ 1.

(5)и(6)– доказаны.

Докажем (7):

(*) A = (A \ B) + (A * B)

(**) B = (B - A) + (A * B)

(***) A+B= (A\B) +A*B*(B\A)

(все множества справа * - *** не совместны, поэтому применим A3).

(+) P(A) = P(A \ B) + P(A*B)

(++) P(B) = P(B \ A) + P(A*B)

(+++) P(A+B) = P(A \ B) + P(B \ A) + P(A*B)

Перепишем (+++) в виде:

P(A+B) = [P(A \ B) + P(A*B)] + [P(B \ A) + P(A*B)] – P(A*B)

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A*B)

(7´) – самостоятельно, используя (7) и введя дополнительное событие

D=A + B.