1) Параметр a известен

Мы знаем, что:

(*)

см 4.1, где

χ_n²- распределениеχ²сnстепенями свободы

Проверка гипотезы H₀связана с построением доверительного интервала, коротко говоря: если доверительный интервал, построенный для неизвестной дисперсии содержитδ₀², то гипотезаH₀принимается, иначеH₀отвергается в пользуH₁при уровне значимостиα;

Подробно эта процедура описывается следующим образом:

Критерий H₀противH₁при уровне значимостиα:

Если

(1)

то гипотеза H₀принимается, в противном случае гипотезаH₀отвергается в пользуH₁

Выполнение гипотезы H₀соответствует случаю, когда

внутри интервала.

Если нарушается левое неравенство в (1), то неизвестная дисперсия существенно меньше δ₀², а если правое - больше δ₀².

Пример: В лаборатории имеются высокоточные весы. Периодически проверяют их точность. Согласно инструкции их точность, измеряемая дисперсией погрешности должна не превышать 0,04. Для проверки точности эталонный вес, равный 5 мг, взвесили 10 раз на этих весах, и вычислили величину= 0,08. Здесьa= 5 мг. Надо проверить гипотезу о том, что точность весов удовлетворяет стандарту.

Решение: по таблице (очень ≈) находим

χ²_{10; 0,975}≈ 0,9 (по умолчанию α = 0,05)

χ²_{10; 0,975}≈ 19

Проверим гипотезу по (1):

Мы видим, что левое неравенство нарушилось и гипотеза H₀- отвергается, по видимому точность весов не удовлетворяет стандарту. Однако, то что левое значение очень близко к 0,04 говорит о том, что возможно лучше еще раз провести тестовые измерения, увеличив объем выборки и проверить гипотезу заново.

2) Проверка гипотезы о значении дисперсии, когда генеральное среднее а не известно.

По-прежнему проверяется H₀противH₁,a- неизвестно, уровень значимостиα.

Мы знаем, что

(2)

если выполнена гипотеза H₀. (см §4)

Отсюда совершенно аналогично предыдущему случаю получаем критерий: если

то принимается гипотеза H₀, в противном случае гипотезаH₀отвергается в пользуH₁.

Иногда гипотеза формулируется о значении δ, а не δ²:H₀= {δ=δ₀} противH₁= {δ=δ₁}

извлекая квадратный корень из (1)и(2)получаем критерий:

(1’)

если это выполняется, то принимается H₀в противном случае отвергается в пользуH₁.

(2’)

если это выполняется, то принимается H₀в противном случаеH₀отвергается в пользуH₁.

§4 Проверка гипотезы о значении генеральной доли.

Пусть P- неизвестная вероятность успеха или генеральная доля. По выборке объемаnоценивается “выборочная доля” –P^*;

(1)P^*=k/n.

Надо проверить гипотезу о значении “генеральной доли”:

H₀= {P=P₀} противH₁= {P≠P₀}

используя выборку объема n, по аналогии с доверительным интервалом можно записать:

(2)Если выполнена гипотезаH₀.

Отсюда совершенно аналогично построение доверительного интервала, проверки H₀противH₁, при уровне значимостиα.

(3), тоH₀– принимаетсяH₁- отвергается

Пример:известно, что среди студентов 2-го курса 30% употребляют спиртные напитки чаще, чем 2 раза в неделю. В СибГУТИ среди 100 обследованных двоечников 25 употребляют чаще, чем 2 раза в неделю. Можно ли это отклонение считать случайным?

Решение: сформулируем и проверим статическую гипотезу для ответа.

Здесь P₀= 0,3;k/n= 25/100 = 0,25

по таблице находим для уровня значимости α= 0,05:

Проверим гипотезу по (3):

1,1 < 1,96

Значит гипотеза H₀принимается, а имеющееся отклонение, по видимому, объясняется случайными величинами.